已知:?ABCD中.AC⊥CD.点E在射线CB上.点F在射线DC上.且∠EAF=∠B．(1)当∠BAD=135°时.若点E在线段CB上.点F在线段DC上.求证:BE+22DF=AD,(2)当∠BAD=120°时.若点E在线段CB上.点F在线段DC上.则AD.BE.DF之间的数量关系是 ,(3)当∠BAD=120°时.连接EF.设直线AF.直线BC交于点Q.当AB=3.BE=2时.求EQ和EF� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知：?ABCD中，AC⊥CD，点E在射线CB上，点F在射线DC上，且∠EAF=∠B．
（1）当∠BAD=135°时，若点E在线段CB上，点F在线段DC上（如图1），求证：BE+

DF=AD；
（2）当∠BAD=120°时，若点E在线段CB上，点F在线段DC上（如图2），则AD、BE、DF之间的数量关系是

；
（3）当∠BAD=120°时，连接EF，设直线AF、直线BC交于点Q，当AB=3，BE=2时，求EQ和EF的长．

分析：（1）此题要通过相似三角形求解；根据∠EAF=∠CAD=45°，可证得∠EAC=∠FAD，而∠ACB=∠D=45°，即可得△AEC∽△AFD，根据AC、AD的比例关系，即可得EC、FD的比例关系，由此得解．
（2）按照（1）的思路，此题要构造相似三角形来求解；取BC的中点G，连接AG；首先通过证△AGC∽△AFD来得到EG、FD的比例关系，然后根据BC=2（BE+EG）求得BE、CF、AD的等量关系式．
（3）此题应分两种情况：
①如（2），点E、F分别在线段BC、CD上；过F作FH⊥BQ于H，由（2）的相似三角形易得FD=2EG=2，那么CF=1，在Rt△CFH中，即可求出FH、CH的值；进而可由勾股定理求得EF的长；由相似三角形△ADF∽△QCF易得CQ的长，即可求出EQ的值；
②点E、Q分别在CB、DC的延长线上；分别过A、F作BC的垂线，设垂足为M、N；易求得AM、FN、BM、EN的长，进而可求出GM、MN的值，根据AM、FN的长，易求得△AMQ、FNQ的相似比，即可求出NQ、MQ的值，从而求得EQ、EF的长，由此得解．

解答：解：（1）证明：∵∠BAD=135°，且∠BAC=90°，
∴∠CAD=45°，即△ABC、△ADC都是等腰直角三角形；
∴AD=

AC，且∠D=∠ACB=45°；
又∵∠EAC=∠DAF=45°-∠FAC，
∴△AEC∽△AFD，
∴AE：AD=EC：FD=1：

，即EC=

FD；
∴BC=BE+

DF，即BE+

DF=AD．

（2）2BE+DF=AD；理由如下：

取BC的中点G，连接AG；
易知：∠DAC=∠BCA=30°，∠B=∠D=60°；
在Rt△ABC中，G是斜边BC的中点，则：
∠AGE=60°，AD=BC=2AG；
∵∠GAD=∠AGE=60°=∠EAF，
∴∠EAG=∠FAD=60°-∠GAF；
又∵∠AGE=∠D=60°，
∴△AGE∽△ADF，得：AG：AD=EG：FD=1：2；
即FD=2EG；
∴BC=2BG=2（BE+EG）=2BE+2EG=2BE+DF，即AD=2BE+DF．

（3）在Rt△ABC中，∠ACB=30°，AB=3，则BC=AD=6，EC=4．
①如图（2）①，过F作FH⊥BQ于H；