Question

如图，已知正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，过O点作OE⊥OF分别交DC于E，交BC于F，∠FEC的角平分线EP交直线AC于P
（1）求证：OE=OF；
（2）写出线段EF、PC、BC之间的一个等量关系式，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）若要证明OE=OF，则只要证明OE所在△BOF全等于OF所在△COE即可；
（2）线段EF、PC、BC之间的一个等量关系式是：EF+

2

CP=BC，找到跟三条线段有关系的线段OE、OP、OC，利用（1）中的三角形全等条件和等腰直角三角形的性质以及勾股定理证明即可．

解答：（1）证明：∵正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC=∠DOC=90°，
∴∠BOF+∠FOP=90°，
∵OE⊥OF，
∴∠FOE=90°，
∴∠EOC+∠FOP=90°
∴∠BOF=∠EOC，
又∵OB=OC，∠OBF=∠DCE=45°，
∴△BOF≌△COE，
∴OE=OF；

（2）EF+

2

CP=BC，
证明：∵△BOF≌△COE，
∴OE=OF，∠OEF=∠OFE=45°．
∵∠FEC的角平分线EP交直线AC于P，
∴∠FEP=∠CEP．
∴∠OEP=∠OPE．
∴OE=OP．
∴EF=

2

OE=

2

OP，
∵BC=

2

OC=

2

（OP+PC），
∴EF+

2

CP=BC．

点评：本题考查了正方形的性质，利用正方形的特殊性质求解．结合了三角形全等的问题，并且涉及到探究性的问题，属于综合性比较强的问题．要求解此类问题就要对基本的知识点有很清楚的认识，熟练掌握．