Question

如图（图1、图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CP于点F，FN⊥BC，交BC的延长线于点N。
（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？为什么？
（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，△ECF的面积为y。
①求y与x的函数关系式；
②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值。

图1                                图2

Answer 1

解：（1）相等。理由： ∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点 ∴∠B=∠DCN=90°，AB=BC=2BE， ∴∠BAE+∠BEA=90°， ∵∠AEF=90°， ∴∠AEB+∠FEC=90°， ∴∠BAE=∠FEN， ∵CF是∠DCN的角平分线，∠FNC=90°， ∴∠FCN=∠CFN=45°， ∴FN=CN， 在Rt△ABE和Rt△ENF中 tan∠BAE=tan∠FEN =， ∴EN=2FN， ∴EC+CN=2CN， ∴FN=BE， ∴Rt△ABE≌Rt△ENF， ∴AE=EF；
（2）①tan∠BAE=tan∠FEN=； ∴， ∴BE（EC+CN）=CN（BE+EC）， ∴BE·EC+BE·CN = BE·CN+CN·EC， ∴BE·EC=CN·EC， ∴BE=CN， ∴BE=FN= x，  ∴， ② 当x=2时，y有最大值为2。