Question

已知二次函数y=ax²+bx+3的图象经过（1，），（2，）两点，与x轴的两个交点的右边一个交点为点A，与y轴交于点B．
（1）求此二次函数的解析式并画出这个二次函数的图象；
（2）求线段AB的中垂线的函数解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）将（1，），（2，）代入y=ax²+bx+3，利用待定系数法求得二次函数的解析式，再根据二次函数的性质即可画出这个二次函数的图象；
（2）根据二次函数的解析式为y=-x²+x+3，求出A、B两点的坐标．连接AB，作线段AB的中垂线MN，交AB于M，交OA于N，则点M为AB的中点，根据中点坐标公式得到M点坐标为（2，）．设N点坐标为（x，0），则ON=x，根据线段垂直平分线的性质得出AN=BN=4-x，然后在直角△OBN中，由勾股定理得出OB²+ON²=BN²，求出x的值，得到N点坐标为（，0）．设直线MN的解析式为y=mx+n，将M，N两点的坐标代入，运用待定系数法即可求解．
解答：解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+3的图象经过（1，），（2，）两点，
∴将两点坐标代入二次函数解析式，
得：，
解得：，
∴此二次函数的解析式为y=-x²+x+3．
图象如右所示：

（2）解方程-x²+x+3=0，
即4x²-13x-12=0，
解得x₁=4，x₂=-．
∵抛物线y=-x²+x+3与x轴的两个交点的右边一个交点为点A，与y轴交于点B，
∴A点坐标为（4，0），B点坐标为（0，3）．
连接AB，作线段AB的中垂线MN，交AB于M，交OA于N，连接BN，则点M为AB的中点，其坐标为（2，）．
设N点坐标为（x，0），则ON=x，AN=BN=4-x，
在△OBN中，∵∠BON=90°，OB=3，ON=x，BN=4-x，
∴OB²+ON²=BN²，即3²+x²=（4-x）²，
解得x=，
∴N点坐标为（，0）．
设直线MN的解析式为y=mx+n，
将M（2，），N（，0）代入，
得，
解得，
∴直线MN的解析式为y=x-．
即线段AB的中垂线的函数解析式为y=x-．
点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，中点坐标公式，线段垂直平分线的性质，综合性较强，难度适中．