题目内容
（2013•甘井子区一模）如图，在△MNQ中，MN=11，NQ=3| 5 |
| ||
| 5 |
（1）MQ的长度是
10
10
；（2）运动
1
1
秒，BC与MN重合；（3）设矩形ABCD与△MNQ重叠部分的面积为S，运动时间为t，求出S与t之间的函数关系式．
分析：（1）过Q作QH⊥MN于H，根据cosN=
=
求出NH=3，求出MH，根据勾股定理求出QH，即可求出答案；
（2）连接BD，解直角三角形求出QM∥BD，当BC和MN重合时，B正好到D点，求出BD的长即可；
（3）分为四种情况：①当BC运动到MN上时，此时0＜t≤1，求出AK=3t，即可求出S；
②当D到QN上时，根据△QAD∽△QMN求出QR=
，根据△QAR∽△QMH得出比例式，即可求出t=
，求出S即可；
③当C到QN上时，证△DFC∽△HNQ求出DF=1.5，AF=2.5，根据△QAF∽△QMN得出
=
，求出t=
，求出AF=11-
t，即可求出S；
④当
＜t≤2时，根据△QAF∽△QMN求出AF=11-
t，过K作KP⊥AD于P，得出△KPF∽△QHN，求出PF=1.5，求出BK=AP=AF+PF=12.5-
t，根据梯形面积公式求出即可．
| ||
| 3 |
| NH |
| NQ |
（2）连接BD，解直角三角形求出QM∥BD，当BC和MN重合时，B正好到D点，求出BD的长即可；
（3）分为四种情况：①当BC运动到MN上时，此时0＜t≤1，求出AK=3t，即可求出S；
②当D到QN上时，根据△QAD∽△QMN求出QR=
| 24 |
| 11 |
| 14 |
| 11 |
③当C到QN上时，证△DFC∽△HNQ求出DF=1.5，AF=2.5，根据△QAF∽△QMN得出
| 10-5t |
| 10 |
| 2.5 |
| 11 |
| 17 |
| 11 |
| 17 |
| 2 |
④当
| 17 |
| 11 |
| 17 |
| 2 |
| 17 |
| 2 |
解答：解：（1）如图1，过Q作QH⊥MN于H，
∵QN=3
，cosN=
=
，
∴NH=3，
∴MH=11-3=8，
在Rt△NHQ中，由勾股定理得：QH=
=6，
在Rt△QMH中，由勾股定理得：MQ=
=10，
故答案为：10．
（2）连接BD，如图1，
∵tan∠ABD=
=
，tan∠QMN=
=
=
，
∴QM∥BD，
当BC和MN重合时，B正好到D点，由勾股定理得：BD=5，
5÷5=1，
即运动1秒时，BC和MN重合，
故答案为：1．
（3）分为四种情况：
①当BC运动到MN上时，此时0＜t≤1，如图2，
∵sinM=
=
，
∴
=
，
∴AK=3t，
∵AD=4，
∴S=4•3t=12t；
②当D到QN上时，此时1＜t≤
，如图3，
∵△QAD∽△QMN，
∴
=
，
∴
=
，
∴QR=
，
∵AD∥MN，
∴△QAR∽△QMH，
∴
=
，
∴
=
，
∴t=
，
即此时1＜t≤
，
S=3×4=12；
③当C到QN上时，此时
＜t≤
，如图4，
∵AD∥MN，
∴∠AFQ=∠N=∠DFC，
∵∠D=∠QHN=90°，
∴△DFC∽△HNQ，
∴
=
，
∴
=
，
∴DF=1.5，
AF=4-1.5=2.5，
∵AD∥MN，
∴△QAF∽△QMN，
∴
=
，
∴
=
，
∴t=
，
即当C到QN上时，t=
，
∵
=
，
∴
=
，
∴AF=11-
t，
S=
（AF+BC）×CD
=
（11-
t+4）•3，
S=-51t-90；
④当
＜t≤2时，如图5，
∵AD∥MN，
∴△QAF∽△QMN，
∴
=
，
∴
=
，
∴AF=11-5.5t，
过K作KP⊥AD于P，
则△KPF∽△QHN，
∴
=
，
∴
=
，
∴PF=1.5，
∴BK=AP=AF+PF=11-5.5t+1.5=12.5-5.5t，
∴S=
（AF+BK）•CD=
[11-5.5t+12.5-5.5t]×3，
S=-
t+25．
∵QN=3
| 5 |
| ||
| 3 |
| NH |
| NQ |
∴NH=3，
∴MH=11-3=8，
在Rt△NHQ中，由勾股定理得：QH=
(3
|
在Rt△QMH中，由勾股定理得：MQ=
| 62+82 |
故答案为：10．
（2）连接BD，如图1，
∵tan∠ABD=
| AD |
| AB |
| 4 |
| 3 |
| QH |
| MH |
| 6 |
| 8 |
| 3 |
| 4 |
∴QM∥BD，
当BC和MN重合时，B正好到D点，由勾股定理得：BD=5，
5÷5=1，
即运动1秒时，BC和MN重合，
故答案为：1．
（3）分为四种情况：①当BC运动到MN上时，此时0＜t≤1，如图2，
∵sinM=
| AK |
| AM |
| QH |
| MQ |
∴
| AK |
| 5t |
| 6 |
| 10 |
∴AK=3t，
∵AD=4，
∴S=4•3t=12t；
②当D到QN上时，此时1＜t≤
| 14 |
| 11 |
∵△QAD∽△QMN，∴
| AD |
| MN |
| QR |
| QH |
∴
| 4 |
| 11 |
| QR |
| 6 |
∴QR=
| 24 |
| 11 |
∵AD∥MN，
∴△QAR∽△QMH，
∴
| AQ |
| QM |
| QR |
| QH |
∴
| 10-5t |
| 10 |
| ||
| 6 |
∴t=
| 14 |
| 11 |
即此时1＜t≤
| 14 |
| 11 |
S=3×4=12；
③当C到QN上时，此时
| 14 |
| 11 |
| 17 |
| 11 |
∵AD∥MN，
∴∠AFQ=∠N=∠DFC，
∵∠D=∠QHN=90°，
∴△DFC∽△HNQ，
∴
| DF |
| NH |
| DC |
| QH |
∴
| DF |
| 3 |
| 3 |
| 6 |
∴DF=1.5，
AF=4-1.5=2.5，
∵AD∥MN，
∴△QAF∽△QMN，
∴
| AQ |
| QM |
| AF |
| MN |
∴
| 10-5t |
| 10 |
| 2.5 |
| 11 |
∴t=
| 17 |
| 11 |
即当C到QN上时，t=
| 17 |
| 11 |
∵
| AF |
| MN |
| QA |
| QM |
∴
| 10-5t |
| 10 |
| AF |
| 11 |
∴AF=11-
| 17 |
| 2 |
S=
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
| 17 |
| 2 |
S=-51t-90；
④当
| 17 |
| 11 |
∵AD∥MN，
∴△QAF∽△QMN，
∴
| AF |
| MN |
| AQ |
| QM |
∴
| 10-5t |
| 10 |
| AF |
| 11 |
∴AF=11-5.5t，
过K作KP⊥AD于P，
则△KPF∽△QHN，
∴
| FP |
| NH |
| KP |
| QH |
∴
| PF |
| 3 |
| 3 |
| 6 |
∴PF=1.5，
∴BK=AP=AF+PF=11-5.5t+1.5=12.5-5.5t，
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
S=-
| 33 |
| 2 |
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，用了分类讨论思想．
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