Question

已知如图，抛物线y=ax²+bx-a的图像与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，顶点坐标为C（0，-4），直线x=m（m>1）与x轴交于点D。

（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线x=m（m>1）上有一点P（点P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求P点坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，试问：抛物线y=ax²+bx-a是否存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形？如果存在这样的点Q，请求出m的值；如果不存在，请简要说明理由。

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-a的顶点坐标为C（0，-4），
∴b=0，a=4，
∴抛物线的解析式为y=4x²-4；
（2）设P（m，n），由4x²-4=0，
∴x=±1，
∴A（-1，0），B（0，1），
∵△OBC∽△PBD，
若∠OCB=∠PBD，则，
∴，
∴，此时，
若∠OCB=∠BPD，则，∴，
∴n=4（m-1），此时P（m，4（m-1））；
（3）假设抛物线存在点Q（x，y）使四边形ABPQ为平行四边形，
当P（m，4m-4）时，AP的中点R的坐标为：，
又∵R又是BQ的中点，
∴，Q（m-2，4（m-1）），
 ∵Q在抛物线上，
∴4（m-1）=4（m-2）²-4，
∴m-1=m²-4m+4-1，
∴m²-5m+4=0，
∴m=4或m=1（舍去），
当P点坐标为时，同理，，，
∴16m²-65m+49=0，m=或m=1（舍去），
∴当m=4或时，AP与BQ互相平分，四边形ABPQ是平行四边形，
∴m=4或为所求。