Question

（2012•崇明县一模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-

1

3

x²+bx+c的图象经过点A（-1，1）和点B（2，2），该函数图象的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D．
（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；
（2）求证：∠ABO=∠CBO；
（3）如果点P在直线AB上，且△POB与△BCD相似，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）利用由直线OA的表达式y=-x，得点C的坐标为（1，-1），进而求出AB=BC，OA=OC即可得出答案；
（3）首先得出∠BOP=∠BDC或∠BOP=∠BCD，进而分析得出P点坐标即可．

解答：解：（1）由题意，得

1=- 1 3 -b+c 2=- 4 3 +2b+c

，
解得

b= 2 3 c=2

，
∴所求二次函数的解析式为：y=-

1

3

x²+

2

3

x+2，
对称轴为直线x=1；

（2）证明：由直线OA的表达式y=-x，得点C的坐标为（1，-1）．
∵AB=

10

，BC=

10

，∴AB=BC．
又∵OA=

2

，OC=

2

，∴OA=OC，
∴∠ABO=∠CBO．

（3）由直线OB的表达式y=x，得点D的坐标为（1，1）．
由直线AB的表达式：y=

1

3

x+

4

3

，
得直线与x轴的交点E的坐标为（-4，0）．
∵△POB与△BCD相似，∠ABO=∠CBO，
∴∠BOP=∠BDC或∠BOP=∠BCD．
（i）当∠BOP=∠BDC时，由∠BDC=135°，得∠BOP=135°．
∴点P不但在直线AB上，而且也在x轴上，即点P与点E重合．
∴点P的坐标为（-4，0）．
（ii）当∠BOP=∠BCD时，连接PO，
由△POB∽△BCD，得

BP

BO

=

BD

BC

．
而BO=2

2

，BD=

2

，BC=

10

，
∴BP=

2

5

10

．
又∵BE=2

10

，
∴PE=

8

5

10

．
作PH⊥x轴，垂足为点H，BF⊥x轴，垂足为点F．
∵PH∥BF，
∴

PH

BF

=

PE

BE

=

EH

EF

．
而BF=2，EF=6，
∴PH=

8

5

，EH=

24

5

．
∴OH=

4

5

．
∴点P的坐标为（

4

5

，

8

5

）．
综上所述，点P的坐标为（-4，0）或（

4

5

，

8

5

）．

点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的性质和二次函数综合应用，利用数形结合以及分类讨论求出是解题关键．