Question

如图，等边△ABC的边长为4，以它的各边的中点为顶点作△A₁B₁C₁，再以△A₁B₁C₁各边的中点为顶点作△A₂B₂C₂…如此下去，则△A₃B₃C₃的周长为

3

2

．

Answer 1

分析：根据三角形中位线定理知，△A₁B₁C₁的各边边长为△ABC的各边边长的

1

2

，△A₂B₂C₂的各边的边长是△A₁B₁C₁的各边边长的

1

2

…据此可以求得△A₃B₃C₃的周长．

解答：解：∵等边△ABC的边长为4，
∴等边△ABC的周长为：4×3=12．
∵A₁、B₁分别是边AB、BC的中点，
∴A₁B₁是△ABC的中位线，
∴A₁B₁=

1

2

AB．
同理，A₁C₁=

1

2

AC，C₁B₁=

1

2

CB．
∴△A₁B₁C₁的周长=

1

2

等边△ABC的周长．
同理，△A₂B₂C₂的周长=

1

2

△A₁B₁C₁的周长=

1

4

等边△ABC的周长．
∴△A₃B₃C₃的周长=

1

2

△A₂B₂C₂的周长=

1

8

等边△ABC的周长=

1

8

×12=

3

2

；
故答案是：

3

2

．

点评：本题考查了等边三角形的性质、三角形中位线定理．三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．