Question

（2013•安溪县质检）如图，抛物线y=ax²-2x+3（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是线段AB上的动点，过P作PD∥AC，交BC于D，连结PC，当△PCD面积最大时．
①求点P的坐标；
②在直线AC上是否存在点Q，使得△PBQ是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把B点的坐标代入抛物线的解析式，求出a的值即可；
（2）①过D作DE⊥x轴于E，设P（m，0），则PB=1-m，易证△PDB∽△ACB，利用相似三角形的性质即可求出DE的长，又因为S_△PCD=S_△PBC-S_△PBD
进而得到△PCD面积和m的二次函数关系式，利用二次函数的性质即可求出面积最大值；②在直线AC上是存在点Q，使得△PBQ是等腰三角形，此题需要分两种情况讨论．

解答：（1）∵抛物线y=ax²-2x+3过B（1，0），
∴0=a-2+3，
∴a=-1，
即抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；              …（3分）
（2）①过D作DE⊥x轴于E，
设P（m，0），则PB=1-m，
由（1）可知C（0，3）A（-3，0），
∴OC=3  AB=4，
∵PD∥AC，
∴△PDB∽△ACB，
∴

DE

CO

=

BP

BA

，
即

DE

3

=

1-m

4

，
∴DE=

3

4

（1-m），…（5分）
∴S_△PCD=S_△PBC-S_△PBD
=

1

2

PB•OC-

1

2

PB•DE，
=

1

2

（1-m）•3-

1

2

（1-m）•

3

4

（1-m），
=-

3

8

（m+1）²+

3

2

，
∵-3≤m≤1，
∴当m=-1时  S_△PCD有最大值

3

2

，
∴P（-1，0）；…（8分）
②在直线AC上是存在点Q，使得△PBQ是等腰三角形，理由如下：
法一：∵P（-1，0）、B（1，0），
∴PB=2，OP=OB，
∴CP=CB，
当QP=QB时，∴Q与C重合  即Q（0，3）…（9分）
∵OA=OC=3，
∴△OAC是等腰三角形，
∵AB=4∴点B到直线AC的距离为AB•sin45°=2

2

即BQ≥2

2

∴BQ≠BP，…（11分）
当PQ=PB=2时，PQ=PA，
∴∠PQA=∠PAQ=45°，
∴QP⊥AB，
∴Q（-1，2），
综上所述，存在点Q₁（0，3）、Q₂（-1，2）使得△PBQ是等腰三角形．
…（13分）
法二：∵P（-1，0）、B（1，0），
∴PB=2，OP=OB，
∴CP=CB，
当QP=QB时∴Q与C重合  即Q（0，3），…（9分）
由A（-3，0）、C（0，3）可求得直线AC的解析式为y=x+3，
设Q（n，n+3），
过Q作QF⊥x轴于F，则F（n，0），
∴PF=|-1-n|=|n+1|QF=|n+3|BF=|1-n|=|n-1|，
∴BQ²=BF²+QF²=（n+3）²+（n-1）²=2（n+1）²+8＞4，
∴BQ≠BP，…（11分）
PQ²=PF²+QF²=（n+1）²+（n+3）²=2n²+8n+10，
当PQ=PB=2时，PQ²=4，
∴2n²+8n+10=4  解得n=-1或n=-3，…（12分）
∵n=-3时，Q与A重合，P、B、Q在同一直线上，
∴n=-3不合题意，
∴Q（-1，2），
综上所述，存在点Q₁（0，3）、Q₂（-1，2）使得△PBQ是等腰三角形．…（13分）

点评：此题考查的知识点有：勾股定理、二次函数解析的确定、相似三角形的判定和性质以及图形面积的求法等重要知识；在求图形面积的最大（小）问题时，将其转化为二次函数的最值问题是常用的方法．