Question

如图，点O（0，0），B（0，1）是正方形OBB₁C的两个顶点，以对角线OB₁为一边作第二个正方形OB₁B₂C₁，再以正方形OB₁B₂C₁的对角线OB₂为一边作第三个正方形OB₂B₃C₂，…，依次下去．
（1）求n个正方形的边长；
（2）求点B₅，B₆的坐标．

Answer 1

分析：（1）直接利用等腰直角三角形的性质和勾股定理就可以求出第1个正方形的边长，依次可以求出第2个正方形的边长为

2

，第三个正方形的边长为2

2

，第四个正方形的边长为4，依此类推就可以求出第n个正方形的边长；
（2）再利用四边形OBB₁C是正方形和B点的坐标就可以求出B₁（1，1），再由勾股定理就可以求出B₂（2，0），依次根据点B的位置变化可以求出B₃（2，-2），B₄（0，-4），B₅（-4，-4），B₆（-8，0），从而求出结论．

解答：解：（1）∵四边形OBB₁C是正方形，
∴OC=OB=CB₁．
∵O（0，0），B（0，1），
∴OB=1，
在Rt△OBB1中由勾股定理得：
OB₁=

2

，
∴第2个正方形的边长为：

2

；
由勾股定理可以得出：
第3个正方形的边长为：2=（

2

）²，
第4个正方形的边长为：2

2

=（

2

）³，
第5个正方形的边长为：4=（

2

）⁴，
…
第 n个正方形的边长为：（

2

）^n-1．
（2）∵正方形OBB₁C，OB=1，
∴由勾股定理，得
OB₁=

2

，B₁在第一象限；
∴OB₂=（ 

2

 ）²=2，B₂在x轴正半轴；
∴OB₃=（ 

2

）³，B₃在第二象限；
∴OB₄=（

2

）⁴，B₄在y轴负半轴；
∴OB₅=（

2

）⁵，B₅在第三象限；
∴OB₆=（

2

）⁶=8，B₆在x轴负半轴．
∴B₅（-4，-4），B₆（-8，0）．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，勾股定理的运用，坐标于图形的性质的性质的运用，解答时寻找线段长度的变化规律是关键．