Question

（2012•峨边县模拟）如图，A（1，-3），B（4，-1），P（a，0），N（a+2，0），当四边形ABNP的周长最小时，a=

7

4

．

Answer 1

分析：由于四边形ABNP的周长=PA+AB+BN+PN，而AB与PN的长都是定值，所以只需PA+BN最小．为此，把B点向左平移2个单位到B′点；作B′关于x轴的对称点B″，连接AB″，交x轴于P，进而确定N点的位置，此时PA+NB最短．再求a的值．

解答：解：点B向左平移2个单位到B′（2，-1），作B′关于x轴的对称点B″，根据作法知点B″（2，1），连接AB″，交x轴于P，将点P向右平移2个单位即为点N．
设直线AB″的解析式为y=kx+b，
则

k+b=-3 2k+b=1

，
解得

k=4 b=-7

．
∴y=4x-7．
当y=0时，x=

7

4

，
即P（

7

4

，0），a=

7

4

故答案为：

7

4

．

点评：本题考查了坐标与图形的性质，轴对称-最短路线问题，将两条线段的和转化为一条线段，从而利用两点之间线段最短的知识解决问题是解决此类问题的关键．