Question

已知抛物线y=x²+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A（-1，0）、B（4，0），
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A、B、C三点作⊙P，求圆心P的坐标；
（3）在第四象限内有一点Q，若以点C、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点Q的坐标．

Answer 1

分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）根据垂径定理求出圆心P的横坐标为1.5，设点P（1.5，y），然后求出点C的坐标，再利用勾股定理列式表示出BP²=CP²，解方程求出y的值即可得解；
（3）根据点B、C的坐标求出△OBC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠OBC=∠OCB=45°，利用勾股定理列式求出BC，再求出AB，然后分①∠CBQ=45°时，利用相似三角形对应边成比例分BQ和AB是对应边，BQ和BC是对应边两种情况列出比例式求解即可；②∠BCQ=45°时，与①同理求出CQ的长，从而得解；③∠Q=45°时，再分∠BCQ=∠ACB时利用相似三角形对应边成比例列式求出CQ的长，过点Q作QD⊥y轴于D，根据三角形的内角和定理和平角等于180°求出∠BAC=∠DCQ，然后利用△AOC和△QDC相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出CD、DQ，再求出OD，从而得解；∠CBQ=∠ACB时，同理可求点Q的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（4，0），
∴

1-b+c=0 16+4b+c=0

，
解得

b=-3 c=-4

，
∴抛物线的解析式为y=x²-3x-4；

（2）由垂径定理，圆心P在AB的垂直平分线上，
∵A（-1，0），B（4，0），
∴点P的横坐标是

-1+4

2

=1.5，
设点P（1.5，y），
令x=0，则y=-4，
∴点C的坐标为（0，-4），
∵BP²=（4-1.5）²+y²，CP²=[y-（-4）]²+1.5²，
∴（4-1.5）²+y²=[y-（-4）]²+1.5²，
解得y=-1.5，
∴圆心P的坐标为（1.5，-1.5）；

（3）∵B（4，0），C（0，-4），
∴OB=OC=4，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
由勾股定理，BC=

OB2+OC2

=

42+42

=4

2

，
AB=4-（-1）=5，
分①∠CBQ=45°时，点Q的横坐标与点B的横坐标相同，
BQ和AB是对应边时，△ABC≌△QBC，
∴BQ=AB=5，
此时，点Q₁（4，-5），
BQ和BC是对应边时，∵△ABC∽△CBQ，
∴

AB

CB

=

BC

BQ

，
即

5

4 2

=

4 2

BQ

，
解得BQ=

32

5

，
此时，点Q₂（4，-

32

5

）；
②∠BCQ=45°时，点Q的纵坐标与点C的纵坐标相同，
与①同理求出CQ=5或

32

5

，
此时，点Q₃（5，-4），Q₄（

32

5

，-4）；
③∠Q=45°时，∠BCQ=∠ACB时，
在△AOC中，AC=

OA2+OC2

=

12+42

=

17

，
∵△ABC∽△BQC，
∴

BC

QC

=

AC

BC

，∠ACB=∠BCQ，
即

4 2

QC

=

17

4 2

，
解得QC=

32 17

17

，
过点Q作QD⊥y轴于D，
∵45°+∠BAC+∠ACB=180°，
45°+∠BCQ+∠DCQ=180°，
∴∠BAC=∠DCQ，
又∵∠AOC=∠QDC=90°，
∴△AOC∽△QDC，
∴

DC

OA

=

DQ

OC

=

CQ

AC

，
即

DC

1

=

DQ

4

=

32 17 17

17

，
解得DC=

32

17

，DQ=

128

17

，
∴OD=OC+DC=4+

32

17

=

100

17

，
此时，点Q₅（

128

17

，-

100

17

），
∠CBQ=∠ACB时，同理可求点Q₆（

100

17

，-

128

17

），
综上所述，存在Q₁（4，-5），Q₂（4，-

32

5

），Q₃（5，-4），Q₄（

32

5

，-4），Q₅（

128

17

，-

100

17

），Q₆（

100

17

，-

128

17

），使以点C、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点的求法，垂径定理的应用，勾股定理的应用，相似三角形的性质，难点在于（3）要分情况讨论．