Question

如图，⊙O的直径AB为4，C为弧AB的中点，E为OB上一点，∠AEC=60°，CE的延长线交⊙O于D，则CD的长为（ ）

A．
B．3
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：连接OC、OD，过点O作OF⊥CD于点F．由等弧所对的圆心角相等知∠AOC=∠BOC=90°；根据垂径定理推知CF=DF=CD；然后根据直角三角形的特殊角的三角函数值求得CD=2CF=OC•cos30°．
解答：解：连接OC、OD，过点O作OF⊥CD于点F．
∵AB是⊙O的直径，C为弧AB的中点，
∴∠AOC=∠BOC=90°（等弧所对的圆心角相等）；
又∵O是圆心，OF⊥CD，
∴CF=DF=CD（垂径定理）；
在Rt△OEC中，∠AEC=60°，
∴∠OCE=30°（直角三角形的两个锐角互余）；
∴在Rt△OCF中，CF=OC•cos30°；
又AB=4，
∴OC=2；
∴CD=2；
故选A．
点评：本题主要考查了垂径定理、解直角三角形．对于一个圆和一条直线，若直线1．平分优弧；2．平分劣弧；3．平分弦；4．垂直于弦；5．经过圆心（或者说直径）；在5个条件中，只要具备任意两个条件，就可以推出其他的三个结论．