Question

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=4cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿线段BC的方向以每秒2cm的速度向点C运动，动点Q从点A出发，沿线段AD的方向以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点P运动到点C时，点Q随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．
（1）求DQ的长（用t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，△PQD面积等于12cm²？
（3）是否存在点P，使△PQD是直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意AQ=t，即可求得DQ的长；
（2）首先过点P作PE⊥AD于E，易得S_△PQD=

1

2

DQ•PE，可得方程

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2

×（16-t）×4=12，继而求得答案；
（3）分别从①若∠PQD=Rt∠，②若∠PDQ=Rt∠，③若∠QPD=Rt∠，分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）由题意得：AQ=t×1=t，
∴DQ=AD-AQ=16-t；

（2）过点P作PE⊥AD于E，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴PE=AB=4，
∴S_△PQD=

1

2

DQ•PE=12（cm²），
∴

1

2

×（16-t）×4=12，
解得：t=10，
答：当t=10秒时△PQD的面积等于12cm²；

（3）假设存在点P，使△PQD是直角三角形．
①若∠PQD=Rt∠，则t=0；
②若∠PDQ=Rt∠，如图（2），则BP=AD，
∴2t=16，
解得：t=8；
③若∠QPD=Rt∠，如图（3），
过点Q作QM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，
∴BM=AQ=t，BN=AD=16，
∴MP=BP-BM=2t-t=t，PN=BN-BP=16-2t，
∵PQ²+PD²=DQ²，
∴QM²+PM²+DN²+PN²=DQ²，
∴4²+t²+4²+（16-2t）²=（16-t）²，
化简得：t²-8t+8=0，
解得：t=

8±4 2

2

=4±2

2

即t1=4+2

2

，t2=4-2

2

，
综上所述当t=0或8或4+2

2

或4-2

2

时，存在点P，使△PQD是直角三角形．

点评：此题属于四边形的综合题，考查了直角梯形的性质、直角三角形的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．