题目内容

已知一次函数y₁=ax+b的图象与反比例函数y₂= $数学公式$ 的图象相交于A、B两点，坐标分别为（-2，4）、（4，-2）．
（1）求两个函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直线AB上是否存在一点P（A除外），使△ABO与以B﹑P、O为顶点的三角形相似？若存在，直接写出顶点P的坐标．

解：（1）把（-2，4）、（4，-2）代入y₁=ax+b $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
所以一次函数的解析式为y=-x+2；
把（-2，4）代入反比例函数y₂= $\text{[math]}$ 得k=-2×4=-8，

所以反比例函数解析式为y=- $\text{[math]}$ ；

（2）设直线AB与y轴交于C点，则C点坐标为（0，2），如图，
S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC= $\text{[math]}$ ×2×2+ $\text{[math]}$ ×2×4
=6；

（3）∵OA= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，OB= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$
∴△ABO为等腰三角形，
∵△ABO与以B﹑P、O为顶点的三角形相似，
而OB为公共边，
∴当PO=PB时，△POB∽△OAB，
设P点坐标为（x，-x+2），
∴PO²=x²+（-x+2）²，PB²=（4-x）²+（-x+2+2）²，
∴x²+（-x+2）²=（4-x）²+（-x+2+2）²，
∴x= $\text{[math]}$ ，
∴y=-x+2=- $\text{[math]}$ +2=- $\text{[math]}$ ，
∴C点坐标为（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）利用待定系数法求两函数的解析式；
（2）设直线AB与y轴交于C点，则C点坐标为（0，2），然后利用S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC进行计算；
（3）通过计算得到OA= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，OB= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，则△ABO为等腰三角形，若△ABO与以B﹑P、O为顶点的三角形相似，于是要有PO=PB，利用勾股定理可得
x²+（-x+2）²=（4-x）²+（-x+2+2）²，解方程求出x，然后把x的值代入y=-x+2求出对应的函数值即可得到P点坐标．
点评：本题考查了反比例函数的综合题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数解析式，运用待定系数法求函数的解析式；掌握三角形相似的判定与性质和勾股定理．