Question

如图，△ABC为正三角形，面积为S．D₁，E₁，F₁分别是△ABC三边上的点，且AD₁=BE₁=CF₁=

1

2

AB，可得△D₁E₁F₁，则△D₁E₁F₁的面积S₁=

1

4

S

；如，D₂，E₂，F₂分别是△ABC三边上的点，且AD₂=BE₂=CF₂=

1

3

AB，则△D₂E₂F₂的面积S₂=

1

3

S

；按照这样的思路探索下去，D_n，E_n，F_n分别是△ABC三边上的点，且
AD_n=BE_n=CF_n=

1

n+1

AB，则S_n=

n2-n+1

(n+1)2

S

．

Answer 1

分析：先利用边角边证明△AD₁F₁、△BD₁E₁、△CE₁F₁全等，再利用正弦定理的方法表示出△ABC的面积与△AD₁F₁的面积，然后根据△D₁E₁F₁的面积等于△ABC的面积减去△AD₁F₁的面积的3倍列式进行计算即可；
先证明四周的三个三角形全等，然后用S表示出△AD₂F₂的面积，然后与第一问同理求解即可；
根据规律写出即可．

解答：解：∵△ABC为正三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，
∵AD₁=BE₁=CF₁=

1

2

AB，
∴BD₁=CE₁=AF₁=

1

2

AB，
∴△AD₁F₁≌△BD₁E₁≌△CE₁F₁，
设等边△ABC的边长为a，
则S=

1

2

a²sin60°，
△AD₁F₁的面积=

1

2

×

1

2

a•

1

2

a•sin60°=

1

4

S，
∴△D₁E₁F₁的面积S₁=S-3×

1

4

S=

1

4

S；

同理，AD₂=BE₂=CF₂=

1

3

AB时，
BD₂=CE₂=AF₂=

2

3

AB，
△AD₂F₂的面积S₂=

1

2

×

1

3

a•

2

3

a•sin60°=

2

9

S，
△D₂E₂F₂的面积S₂=S-3×

2

9

S=

1

3

S；

AD_n=BE_n=CF_n=

1

n+1

AB时，
BD_n=CE_n=AF_n=

n

n+1

AB，
△AD_nF_n的面积=

1

2

×

1

n+1

a•

n

n+1

a•sin60°=

n

(n+1)2

S，
△D_nE_nF_n的面积S_n=S-3×

n

(n+1)2

S=

n2-n+1

(n+1)2

S．
故答案为：

1

4

S，

1

3

S，

n2-n+1

(n+1)2

S．

点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，利用正弦定理的方法表示出三角形的面积是解题的关键．