Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（0，2），⊙C的圆心为点C（-1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是______．

Answer 1

当⊙C与AD相切时，△ABE面积最大，
连接CD，
则∠CDA=90°，
∵A（2，0），B（0，2），⊙C的圆心为点C（-1，0），半径为1，
∴CD=1，AC=2+1=3，
∴AD=

AC2-CD2

=2

2

，
∵∠AOE=∠ADC=90°，∠EAO=∠CAD，
∴△AOE∽△ADC，
∴

OA

AD

=

OE

CD

，
即

2

2 2

=

OE

1

，
∴OE=

2

2

，
∴BE=OB+OE=2+

2

2

，
∴S_△ABE=

1

2

BE•OA=

1

2

×（2+

2

2

）×2=2+

2

2

．
故答案为：2+

2

2

．