题目内容
（2013•香坊区二模）如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧AB上的一点，过点M作⊙O的切线MP交OA的延长线于点P，MD与OA交于点N．（1）求证：PM=PN；
（2）若BC=3，PA=
| 3 | 5 |
分析：（1）连接OM交BC于点Q，由PM是⊙O的切线，可得OM⊥MP，由同角的余角相等，易证得∠PMN=∠PNM，即可得PM=PN；
（2）由（1）∠OMP=90°，可得MP∥BC，即可求得BQ的长，又由三角函数的性质，易得sin∠BOQ=sin∠P，即可得
=
，继而求得答案．
（2）由（1）∠OMP=90°，可得MP∥BC，即可求得BQ的长，又由三角函数的性质，易得sin∠BOQ=sin∠P，即可得
| BQ |
| BO |
| OM |
| OP |
解答：
（1）证明：连接OM交BC于点Q，
∵PM是⊙O的切线，
∴OM⊥MP，
即∠OMP=90°，
∴∠PMN=90°-∠OMD，
∵∠PNM=∠OND=90°-∠ODM，
∵OD=OM，
∴∠OMD=∠ODM，
∴∠PMN=∠PNM，
∴PM=PN；
（2）由（1）∠OMP=90°，
∵MP∥BC，
∴OM⊥BC，BC=3，
∴BQ=
，
∵∠BOM+∠MOP=90°，∠P+∠MOP=90°，
∴∠BOM=∠P，
∴sin∠BOQ=sin∠P，
∴
=
，
∵OB=OM=OA，
∴OP=OA+
BO=
BO，
∴
=
，
∴OB=
．
（1）证明：连接OM交BC于点Q，∵PM是⊙O的切线，
∴OM⊥MP，
即∠OMP=90°，
∴∠PMN=90°-∠OMD，
∵∠PNM=∠OND=90°-∠ODM，
∵OD=OM，
∴∠OMD=∠ODM，
∴∠PMN=∠PNM，
∴PM=PN；
（2）由（1）∠OMP=90°，
∵MP∥BC，
∴OM⊥BC，BC=3，
∴BQ=
| 3 |
| 2 |
∵∠BOM+∠MOP=90°，∠P+∠MOP=90°，
∴∠BOM=∠P，
∴sin∠BOQ=sin∠P，
∴
| BQ |
| BO |
| OM |
| OP |
∵OB=OM=OA，
∴OP=OA+
| 3 |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
∴
| ||
| BO |
| OB | ||
|
∴OB=
| 12 |
| 5 |
点评：此题考查了切线的性质、三角函数的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
练习册系列答案
相关题目
（2013•香坊区二模）校运动会前，小明和小亮相约晨练跑步，小明比小亮早1分钟离开家门，3分钟后迎面遇到从家跑来的小亮，两人并行跑了2分钟后，决定进行长跑比赛，比赛过程中小明的速度始终是180米/分，小亮的速度始终是220米/分．两人之间的距离y（米）与小明离开家的时间t（分钟）之间的函数图象如图所示，下列说法：