Question

如图，正方形的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F．问是否存在一点P，使得以P，F，E为顶点的三角形△ABE相似？若存在，求出点P到A点的距离；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：在射线AD上存在一点P，使得以P，F，E为顶点的三角形与△ABE相似，由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：当∠PEF=∠EAB时，则得到四边形ABEP为矩形，从而求得x的值；当∠PEF=∠AEB时，得到等腰△APE．再根据等腰三角形的三线合一得到F是AE的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解．
解答：解：在射线AD上存在一点P，使得以P，F，E为顶点的三角形与△ABE相似，
理由如下：设PA=x，
情况1，当△EFP∽ABE时，则有∠PEF=∠EAB，PE∥AB，
∴四边形ABEP为矩形，
∴PA=EB=2，即x=2，
情况2，当△PFE∽△ABE时，且∠PEF=∠AEB时，
∵∠PAF=∠AEB
∴∠PEF=∠PAF，
∴PE=PA
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点，
∵AE====2
∴EF=AE=，
由，即得PE=5，
∴PA=5，
∴当PA=2或PA=5时，以P，F，E为顶点的三角形与△ABE相似．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质以及勾股定理的运用，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．