Question

如图，已知△ABC中，AB=4，BC=5，AC=6，把线段AB沿射线BC方向平移至PQ，直线PQ与直线AC交于点E，又连接BQ与直线AC交于点D．
（1）若BP=3，求AD的长；
（2）设BP=x，DE=y，试求y关于x的函数解析式；
（3）当BP为多少时，以Q、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．

Answer 1

分析：（1）连接AQ，由平行四边形的判定定理可得出四边形ABPQ是平行四边形，进而可得出△ADQ∽△CDB，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（2）由平行线分线段成比例定理可知

CE

CA

=

CP

CB

，

AD

DC

=

AQ

BC

，再根据点P在边BC上或点P在边BC的延长线上两种情况讨论即可；
（3）先由相似三角形的判定定理得出△EDQ∽△ADB，△ADB∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例即可求出BP的长．

解答：解：（1）连接AQ
∵AB∥PQ  AB=PQ
∴四边形ABPQ是平行四边形，
∴AQ∥BP  AQ=BP
∴△ADQ∽△CDB，
∵BP=3
∴AQ=3
∵

AQ

BC

=

AD

DC

，
∴

3

5

=

AD

6-AD

，
∴AD=

9

4

；

（2）∵AB∥PQ，AQ∥BC，
∴

CE

CA

=

CP

CB

，

AD

DC

=

AQ

BC

∵AB=4，BC=5，AC=6，BP=x，DE=y，
当点P在边BC上时，
∴

CE

6

=

5-x

5

，解得CE=6-

6x

5

…（1分）

AD

6-AD

=

x

5

，解得AD=

6x

x+5

…（1分）
∴y=DE=6-AD-CE=

6x2

5x+25

…（1分）
当点P在边BC的延长线上时，
∴

CE

6

=

x-5

5

，解得CE=

6x

5

-6…（1分）

AD

6-AD

=

x

5

，解得AD=

6x

x+5

…（1分）
∴y=DE=6-AD+CE=

6x2

5x+25

综上所述，y=

6x2

5x+25

（x＞0）…（1分）

（3）∵AB∥PQ，∴△EDQ∽△ADB  …（1分）
又以Q、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
∴△ADB与△ABC相似  …（1分）
∵∠BAC公共，又∠ABD≠∠ABC
∴∠ABD=∠ACB     …（1分）
∴

AD

AB

=

AB

AC

即AD=

8

3

由（2）知，AD=

6x

x+5

∴

6x

x+5

=

8

3

得x=4
所以，当BP为4时，以Q、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．…（2分）

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定定理及平行线分线段成比例定理，在解（2）时要注意分类讨论，不要漏解．