题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C的坐标分别为（0，﹣
）、（2，0），将矩形OABC绕点O顺时针旋转45°得到矩形OA′B′C′，边A′B′与y轴交于点D，经过坐标原点的抛物线y=ax2+bx同时经过点A′、C′．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）写出点B′的坐标；
（3）点P是边OC′上一点，过点P作PQ⊥OC′，交抛物线位于y轴右侧部分于点Q，连接OQ、DQ，设△ODQ的面积为S，当直线PQ将矩形OA′B′C′的面积分为1：3的两部分时，求S的值；
（4）保持矩形OA′B′C′不动，将矩形OABC沿射线CO方向以每秒1个单位长度的速度平移，设平移时间为t秒（t＞0）．当矩形OABC与矩形OA′B′C′重叠部分图形为轴对称多边形时，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣
x2+
x；
（2）B′（1，﹣3）；
（3）S△ODQ′=
×2×
=
．
（4）0≤t
﹣2或t=
或2﹣1≤t≤2时，矩形OABC与矩形OA′B′C′重叠部分图形为轴对称多边形．
【解析】
试题分析：（1）求出A、C两点坐标，把A、C两点坐标代入y=ax2+bx解方程组即可．
（2）如图1中，连接A′C′，OB′交于点E．求出点E坐标，根据中点坐标公式即可解决问题．
（3）分两种情形①当OP：PC′=1：3时，P（
，﹣），求出直线PQ的解析式，利用方程组求出点Q坐标即可．②当OP′：P′C′=3：1时，P′（
，﹣），方法类似．
（4）分别求出①如图3中，当AB经过点C′时，②如图4中，当O′C′=O′A=
时，③如图5中，当点A在直线B′C′上时的时间t，观察图象即可解决问题．
试题解析：（1）如图1中，
由题意A′（﹣1，﹣1），C′（2，﹣2），把A′（﹣1，﹣1），C′（2，﹣2）代入y=ax2+bx得
，
解得
，
∴抛物线的解析式为y=﹣
x2+
x．
（2）如图1中，连接A′C′，OB′交于点E．∵四边形OA′B′C′是矩形，
∴A′E=EC′，OE=EB′，∵A′（﹣1，﹣1），C′（2，﹣2），∴E（
，﹣
），∴B′（1，﹣3）．
（3）如图2中，∵直线PQ将矩形OA′B′C′的面积分为1：3的两部分，
∴OP：PC′=1：3或OP′：P′C′=3：1．
①当OP：PC′=1：3时，P（
，﹣），直线PQ的解析式为y=x﹣1，
由
，解得
或
，∵点Q在第四象限，
∴Q（
，
）．∵D（0，﹣2），∴S△ODQ=
×2×=．
②当OP′：P′C′=3：1时，P′（
，﹣），∴直线P′Q′的解析式为y=x﹣3，
由
解得
或
，
∴Q′（
，
），∴S△ODQ′=
×2×=．
（4）如图3中，当AB经过点C′时，t=2
﹣2，
如图4中，当O′C′=O′A=
时，AB与B′C′交于点M，连接O′M，则△O′MA≌△O′MC′，
此时t=OO′=2﹣=，
如图5中，当点A在直线B′C′时上，t=OO′=2﹣1．
综上所述，观察图形可知0≤t
﹣2或t=或2﹣1≤t≤2时，矩形OABC与矩形OA′B′C′重叠部分图形为轴对称多边形．
