Question

如图1，在平面直角坐标系中，已知点M的坐标是（3，0），半径为2的⊙M交x轴于E、F

两点，过点P（－1，0）作⊙M的切线，切点为点A，过点A作AB⊥x轴于点C，交⊙M于

点B。抛物线y＝ax²＋bx＋c经过P、B、M三点。

1.（1）求该抛物线的函数表达式；（3分）

2.（2）若点Q是抛物线上一动点，且位于P、B两点之间，设四边形APQB的面积为S，点Q的

横坐标为x，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值和此时点Q的坐标；（4分）

3.（3）如图2，将弧AEB沿弦AB对折后得到弧AE′B，试判断直线AF与弧AE′B的位置关系，

并说明理由。（3分）

 

Answer 1

【答案】

 

1.（1）如图5，依题意，可知：

            点

∵抛物线y＝ax²＋bx＋c经过P、B、M三点

∴

解得： 

∴抛物线的解析式为：

2.（2）如图6，依题意设点Q的坐标为（x，y₀），

过点Q作QN⊥x轴交于点N，连接QP、QB

        ∵点Q是抛物线上一动点，且位于P、B两点之间，

        ∴，－1≤x≤2

∴四边形APQB的面积为S为：

 

  ；（其中，－1≤x≤2）

即：；（其中，－1≤x≤2）

∴ 当时，四边形APQB的面积S有最大值，,

   此时，，，点Q的坐标为（－1，0），

3.（3）直线AF与弧AE′B相切，理由如下：

如图7，由（1）可知，PA是⊙M的切线，且

       点

∴△ACP≌△ACF

∵将弧AEB沿弦AB对折后得到弧AE′B

∴PA是弧AEB的切线

∴FA是弧AE′B的切线

            即：直线AF与弧AE′B相切

 

【解析】略