Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH的各边分别与半圆相切且平行于AB或BC，则矩形EFGH的周长是    ．

Answer 1

【考点】切线的性质；勾股定理；矩形的性质．

【专题】

【分析】首先取AC的中点O，过点O作MN∥EF，PQ∥EH，　　由题意可得PQ⊥EF，PQ⊥GH，MN⊥EH，MN⊥FG，PL，KN，OM，OQ分别是各半圆的半径，OL，OK是△ABC的中位线，又由在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，即可求得个线段长，继而求得答案．

【解答】解：取AC的中点O，过点O作MN∥EF，PQ∥EH，

∵四边形EFGH是矩形，

∴EH∥PQ∥FG，EF∥MN∥GH，∠E=∠H=90°，

∴PQ⊥EF，PQ⊥GH，MN⊥EH，MN⊥FG，

∵AB∥EF，BC∥FG，

∴AB∥MN∥GH，BC∥PQ∥FG，

∴AL=BL，BK=CK，

∴OL=BC=×8=4，OK=AB=×6=3，

∵矩形EFGH的各边分别与半圆相切，

∴PL=AB=×6=3，KN=BC=×8=4，

在Rt△ABC中，，

∴OM=OQ=AC=5，

∴EH=FG=PQ=PL+OL+OQ=3+4+5=12，EF=GH=MN=OM+OK+NK=5+3+4=12，

∴矩形EFGH的周长是：EF+FG+GH+EH=12+12+12+12=48．

故答案为：48．

【点评】此题考查了切线的性质、矩形的性质，三角形中位线的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．