Question

在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（4，10），点C在y轴上，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点的坐标为________．

Answer 1

（0，0），（0，10）（0，2），（0，8）
分析：很明显，当点C在原点和（0，10）时是直角三角形，当点C在原点与（0，10）之间时，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．
解答：解：如图，①当点C在原点（0，0）与（0，10）时是直角三角形；
②当点C在原点与（0，10）之间时，
设C点坐标为（0，y），
则OC=y，AC=，
根据题意，∠CAO+∠CAB=90°，∠B+∠BAC=90°，
∴∠B=∠CAO，
又∠ACB=∠AOC=90°，
∴△ABC∽△CAO，
∴，
∴AC²=CO•AB，
即4²+y²=10y，
∴y²-10y+16=0
解得y₁=2，y₂=8，
∴点C的坐标为（0，2）（0，8）；
故C点的坐标为（0，0）（0，10）（0，2）（0，8）．
点评：本题难点在于利用相似三角形的对应边成比例列式并解一元二次方程．