Question

15、如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：
①AP=EF；  ②AP⊥EF；
③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=EC．
其中正确结论的序号是

①②④

．

Answer 1

分析：可以证明△ANP≌△FPE，即可证得①④是正确的，根据三角形的内角和定理即可判断②正确；根据P的任意性可以判断③⑤的正确性．

解答：解：过点P作PN⊥AB，垂足为点N，延长AP，交EF于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABP=∠CBD，
又∵NP⊥AB，PE⊥BC，
∴四边形BNPE是正方形，
∴NP=EP，
则△ANP≌△FPE，
∴AP=EF，∠PFE=∠BAP，故①④正确；
△APN与△FPM中，∠APN=∠FPM，∠NAP=∠PFM
∴∠PMF=∠ANP=90°
∴AP⊥EF，故②正确；
P是BD上任意一点，因而△APD不一定是等腰三角形，故③错误；
∵在Rt△PDF中，PD＞PF，
在矩形PECF中，PF=EC，
∴PD＞EC，故⑤错误；
故答案为：①②④．

点评：本题主要考查了正方形的性质，正确证明△ANP≌△FPE，以及理解P的任意性是解决本题的关键．