Question

已知：如图，△ABC中，AB=6，AC=8，M为AB上一点（M不与点A、B重合），MN∥BC交AC于点N．
（1）当△AMN的面积是四边形MBCN面积的2倍时，求AM的长；
（2）若∠A=90°，在BC上是否存在点P，使得△MNP为等腰直角三角形？若存在，请求出MN的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据MN∥BC，证得△AMN∽△ABC，再由相似三角形的面积之比等于相似比的平方，求得AM的长；
（2）由∠A=90°，AB=6，AC=8，可得出BC和BC边上的高，再分三种情况：①当MN是腰，∠PMN=90°时；②当MN是腰，∠MNP=90°时；③当MN是底，∠MPN=90°时，分别求得MN的长即可．

解答：解：（1）∵MN∥BC
∴△AMN∽△ABC（1分）∴

S△AMN

S△ABC

=(

AM

AB

)2
∵△AMN的面积是四边形MBCN面积的2倍，
∴

S△AMN

S△ABC

=

2

3

，
∴(

AM

AB

)2=

2

3

，
∴

AM

AB

=

6

3

．（2分）
又∵AB=6，
∴AM=

6

3

AB=2

6

．（3分）

（2）∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴BC=

AB2+AC2

=10，
BC边上的高AD=

AB?AC

BC

=

24

5

．（4分）
①当MN是腰，∠PMN=90°时（如图1），设MP=MN=x，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴

x

10

=

24 5 -x

24 5

，
解得x=

120

37

，即MN=

120

37

；（5分）
②当MN是腰，∠MNP=90°时（如图2）
同理可得MN=

120

37

；（6分）
③当MN是底，∠MPN=90°时（如图3），设MN=x
过点P作PQ⊥MN于Q，
∵PM=PN，
∴PQ=

1

2

MN=

1

2

x．
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴

x

10

=

24 5 - 1 2 x

24 5

，
解得x=

240

49

，即MN=

240

49

．（7分）

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理以及直角三角形的性质，特别注意第三问要用到分类讨论思想．