题目内容

如图，△ABC是一个直角三角形，其中∠C=90゜，∠A=30°，BC=6；O为AB上一点，且OB=3，⊙O是一个以O为圆心、OB为半径的圆；现有另一半径为 $数学公式$ 的⊙D以每秒为1的速度沿B→A→C→B运动，设时间为t，当⊙D与⊙O外切时，t的值为________．

$\text{[math]}$
分析：分别从①在B→A的过程中，②在A→C的过程中，③当C与D重合时去分析求解，利用含30°角的直角三角形的性质与圆与圆的外切的性质，即可求得答案．
解答：

解：①在B→A的过程中，当OD=3+3 $\text{[math]}$ -3=3 $\text{[math]}$ 时，⊙D与⊙O外切，此时BD=OB+OD=3+3 $\text{[math]}$ ，
即t=3+3 $\text{[math]}$ ；
②如图1，在A→C的过程中，过点C作CH⊥AB于H，连接OD，OC，
∵∠C=90゜，∠A=30°，BC=6，
∴AB=2BC=12，AC= $\text{[math]}$ =6 $\text{[math]}$ ，
∴∠B=60°，
∴BH=BC•cos∠B=6× $\text{[math]}$ =3，CH=BC•sin∠B=3 $\text{[math]}$ ，
∵OB=3，
∴O与H重合，
即OC⊥AB，OC=3 $\text{[math]}$ ，
∴∠BOC=90°-∠B=60°，
∵OD=3 $\text{[math]}$ ，
∴OC=OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD=OD=3 $\text{[math]}$ ，
∴AB+AD=AB+AC-CD=12+6 $\text{[math]}$ -3 $\text{[math]}$ =12+3 $\text{[math]}$ ，
即t=12+3 $\text{[math]}$ ；
③∵由②得，OC=3 $\text{[math]}$ =OD，
∴当C与D重合时，⊙D与⊙O外切；
即t=12+6 $\text{[math]}$ ；
综上，当⊙D与⊙O外切时，t的值为3+3 $\text{[math]}$ 或12+3 $\text{[math]}$ 或12+6 $\text{[math]}$ ．
故答案为：3+3 $\text{[math]}$ 或12+3 $\text{[math]}$ 或12+6 $\text{[math]}$ ．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系，直角三角形的性质以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．