Question

【题目】在中，，，点在射线上（不与点、点重合），将线段绕逆时针旋转得到线段，作射线与射线，两射线交于点．

（1）若点在线段上，如图1，请直接写出与的关系．

（2）若点在线段的延长线上，如图2，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

（3）在（2）的条件下，连接，为的中点，连接，若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1），；（2）结论仍然成立；理由见解析；（3）．

【解析】

（1）首先通过等腰直角三角形的性质和旋转的性质证明，则有，，进而可得出，则可证明，再利用等腰直角三角形的性质得出，则可证明；

（2）首先通过等腰直角三角形的性质和旋转的性质证明，则有，，进而可得出，则可证明，再利用等腰直角三角形的性质得出，则可证明；

（3）过点作于点，过点作于，首先通过等腰直角三角形解出BC,CF,AN,CN的长度，然后利用求出EN的长度，进而可求出EC,EF的长度，再利用求出HG,EF的长度，进而可求FH的长度，最后利用勾股定理即可求解．

解：（1），，

理由如下：∵，，

∴．

∵将线段绕逆时针旋转得到线段，

∴，，

∴，且，，

∴

∴，，

∴，

∴．

又∵，

∴，

∴，

∴；

（2）结论仍然成立，

理由如下：∵，，

∴．

∵将线段绕逆时针旋转得到线段，

∴，，

∴，且，，

∴

∴，，

∴，

∴．

又∵，

∴，

∴，

∴；

（3）如图，过点作于点，过点作于，

∵，

∴．

∵，，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴．

∵，，

∴，

∴，且，

∴，，

∴，

∴．