题目内容
如图①，已知点D在AB上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，且M为EC的中点．（1）求证：△BMD为等腰直角三角形．
（思路点拨：考虑M为EC的中点的作用，可以延长DM交BC于N，构造△CMN≌△EMD，于是ED=CN=DA，即可以证明△BND也是等腰直角三角形，且BM是等腰三角形底边的中线就可以了．）请你完成证明过程：
（2）将△ADE绕点A再逆时针旋转90°时（如图②所示位置），△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由．
【答案】分析：（1）延长DM交BC于N，根据平行线的性质和判定推出∠DEM=∠MCB，根据ASA推出△EMD≌△CMN，证出CN=AD即可；
（2）作CN∥DE交DM的延长线于N，连接BN，根据平行线的性质求出∠E=∠NCM，根据ASA证△DBA≌△NBC，推出△DBN是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可推出△BMD为等腰直角三角形．
解答：（1）证明：延长DM交BC于N，
∵∠EDA=∠ABC=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEM=∠MCB，
在△EMD和△CMN中
，
∴△EMD≌△CMN，
∴CN=DE=DA，MN=MD，
∵BA=BC，
∴BD=BN，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，
∴BM⊥DM，∠DBM=
∠DBN=45°=∠BDM，
∴△BMD为等腰直角三角形．
（2）解：△BMD为等腰直角三角形的结论仍成立，
证明：作CN∥DE交DM的延长线于N，连接BN，
∴∠E=∠MCN=45°，
∵∠DME=∠NMC，EM=CM，
∴△EMD≌△CMN（ASA），
∴CN=DE=DA，MN=MD，
在△DBA和△NBC中
，
∴△DBA≌△NBC，
∴∠DBA=∠NBC，DB=BN，
∴∠DBN=∠ABC=90°，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，
∴BM⊥DM，∠DBM=
∠DBN=45°=∠BDM，
∴△BMD为等腰直角三角形．
点评：本题综合考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，此题综合性比较强，培养了学生分析问题和解决问题的能力，类比思想的运用，题型较好，难度适中．
（2）作CN∥DE交DM的延长线于N，连接BN，根据平行线的性质求出∠E=∠NCM，根据ASA证△DBA≌△NBC，推出△DBN是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可推出△BMD为等腰直角三角形．
解答：（1）证明：延长DM交BC于N，
∵∠EDA=∠ABC=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEM=∠MCB，
在△EMD和△CMN中
，∴△EMD≌△CMN，
∴CN=DE=DA，MN=MD，
∵BA=BC，
∴BD=BN，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，
∴BM⊥DM，∠DBM=
∠DBN=45°=∠BDM，∴△BMD为等腰直角三角形．
（2）解：△BMD为等腰直角三角形的结论仍成立，
证明：作CN∥DE交DM的延长线于N，连接BN，
∴∠E=∠MCN=45°，
∵∠DME=∠NMC，EM=CM，
∴△EMD≌△CMN（ASA），
∴CN=DE=DA，MN=MD，
在△DBA和△NBC中
，∴△DBA≌△NBC，
∴∠DBA=∠NBC，DB=BN，
∴∠DBN=∠ABC=90°，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，
∴BM⊥DM，∠DBM=
∠DBN=45°=∠BDM，∴△BMD为等腰直角三角形．
点评：本题综合考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，此题综合性比较强，培养了学生分析问题和解决问题的能力，类比思想的运用，题型较好，难度适中．
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