题目内容

(2011•资阳)在一次机器人测试中,要求机器人从A出发到达B处.如图1,已知点A在O的正西方600cm处,B在O的正北方300cm处,且机器人在射线AO及其右侧(AO下方)区域的速度为20cm/秒,在射线AO的左侧(AO上方)区域的速度为10cm/秒.
(1)分别求机器人沿A→O→B路线和沿A→B路线到达B处所用的时间(精确到秒);
(2)若∠OCB=45°,求机器人沿A→C→B路线到达B处所用的时间(精确到秒);
(3)如图2,作∠OAD=30°,再作BE⊥AD于E,交OA于P.试说明:从A出发到达B处,机器人沿A→P→B路线行进所用时间最短.
(参考数据:
2
≈1.414,
3
≈1.732,
5
≈2.236,
6
≈2.449)
分析:(1)根据已知先求出沿A→O→B路线行进所用时间,然后由勾股定理求出AB,从而求出沿A→B路线行进所用时间;
(2)首先解Rt△OBC,运用三角函数求出BC,继而得出AC,从而求出沿A→C→B路线到达B处所用的时间;
(3)在AO上任取异于点P的一点P′,作P′E′⊥AD于E′,连接P′B,分别求出沿A→P→B路线行进所用时间和沿A→P′→B路线行进所用时间进行比较得出结论.
解答:解:(1)沿A→O→B路线行进所用时间为:600÷20+300÷10=60(秒),(1分)
在Rt△OBA中,由勾股定理,得AB=
6002+3002
=300
5
(cm).(2分)
∴沿A→B路线行进所用时间为:300
5
÷10≈300×2.236÷10≈67(秒).(3分)

(2)在Rt△OBC中,OB=300,∠OCB=45°,∴OC=OB=300cm,BC=
300
sin45°
=300
2
(cm)(4分)
∴AC=600-300=300(cm).
∴沿A→C→B路线行进所用时间为:AC÷20+BC÷10=300÷20+300
2
÷10≈15+42.42≈57(秒).

(3)在AO上任取异于点P的一点P′,作P′E′⊥AD于E′,连接P′B,
在Rt△APE和Rt△AP′E′中,sin30°=
EP
AP
=
E′P′
AP′
,∴EP=
AP
2
,E′P′=
AP′
2
.(7分)
∴沿A→P→B路线行进所用时间为:AP÷20+PB÷10=EP÷10+PB÷10=(EP+PB)÷10=
1
10
BE(秒),
沿A→P′→B路线行进所用时间为:
AP′÷20+P′B÷10=E′P′÷10+P′B÷10=(E′P′+P′B)÷10=
1
10
(E′P′+P′B)(秒).(8分)
连接BE′,则E′P′+P′B>BE′>BE,∴
1
10
BE<
1
10
(E′P′+P′B).
∴沿A→P→B路线行进所用时间,小于沿A→P′→B路线行进所用时间.
即机器人沿A→P→B路线行进所用时间最短.(9分)
点评:此题考查的知识点是解直角三角形的应用,关键是运用三角函数和勾股定理求出路线长.
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