Question

【题目】如图，抛物线与轴交于点和点（点在原点的左侧，点在原点的右侧），与轴交于点，．

（1）求该抛物线的函数解析式．

（2）如图1，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，．交于点，当时，求点的坐标．

（3）如图2，点的坐标为，点是抛物线上的点，连接，，形成的中，是否存在点，使或等于？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）、、、

【解析】

（1），则：，，把、坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2），则，即：，即可求解；

（3）分或等于两种情况分别求解即可．

（1）∵，

∴，，

把、坐标代入抛物线得：

解得：

∴抛物线解析式为：

（2）∵，∴，即，

设：点横坐标为，则点横坐标为，点在直线上，

求得所在的直线表达式为：，则，

由可求得点，

把点坐标代入抛物线的解析式，解得：或，

∴点的坐标为或；

（3）①当时，

当在轴上方时，

如图2，设交轴于点，

，，又，，

△，

，点，

直线过点、，则其解析式为：，

解方程组得：（不合题意，舍去）或，

故点的坐标为： ()；

当在轴下方时，

如图2，过点作交于点，则，

，，，

，

直线可以看成直线平移而得，其值为，

则其直线表达式为：，

设点，过点作轴交于点，作于点，

则点，，

，则，

即：，

解得：，则点，

则直线的表达式为：，

解方程组得：（不合题意，舍去）或，

故点的坐标为： ；

②当时，

当在上方时，如图3，点为图2所求，

设交于点，

，，

，

由①知，直线的表达式为：，

设点，，

由，同理可得：，

故点，则直线的表达式为：，

解方程组

得：（不合题意，舍去）或，

故点的坐标为： ；

当在下方时，

同理可得：（舍去负值），

故点．

故点的坐标为：、、、．