Question

如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点A′，且B′C=3，求CN和AM的长．

Answer 1

分析：根据折叠的性质得到A′B′=AB=9，NB′=NB，∠NB′A′=∠B=90°，设CN=x，则NB=9-x，NB′=9-x，在Rt△NCB′，利用勾股定理了计算出x=4，即CN=4，得到NB′=9-4=5，根据三角形相似的判定方法易得Rt△B′DE∽Rt△NCB′，则

DB′

NC

=

DE

B′C

=

B′E

NB′

，可分别计算出DE=

9

2

，B′E=

15

2

，于是A′E=A′B′-B′E=9-

15

2

=

3

2

；然后再证明Rt△MA′E∽Rt△B′DE，得到

ME

B′E

=

A′E

DE

，即

ME

15 2

=

3 2

9 2

，可计算出ME=

5

2

，最后利用AM=AD-ME-DE可求出AM的长．

解答：解：如图，
∵边长为9的正方形纸片，沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点A′，
∴A′B′=AB=9，NB′=NB，∠NB′A′=∠B=90°，
设CN=x，则NB=9-x，NB′=9-x，
在Rt△NCB′，B′C=3，
∵NC²+B′C²=NB′²，
∴x²+3²=（9-x）²，解得x=4，
∴CN=4，NB′=9-4=5，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴Rt△B′DE∽Rt△NCB′，
∴

DB′

NC

=

DE

B′C

=

B′E

NB′

，
而DB′=DC-CB′=6，
∴

DE

3

=

B′E

5

=

6

4

，
∴DE=

9

2

，B′E=

15

2

，
∴A′E=A′B′-B′E=9-

15

2

=

3

2

，
∵∠5=∠4，
∴Rt△MA′E∽Rt△B′DE，
∴

ME

B′E

=

A′E

DE

，即

ME

15 2

=

3 2

9 2

，
∴ME=

5

2

，
∴AM=AD-ME-DE=9-

5

2

-

9

2

=2，
故CN的长为4，AM的长为2．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了正方形的性质、勾股定理和相似三角形的判定与性质．