Question

已知抛物线y=ax²+x+2（a＜0）．
（1）若对称轴为直线x=

1

2

．①求a的值；②在①的条件下，若y的值为正整数，求x的值；
（2）当a=a₁时，抛物线y=ax²+x+2与x轴的正半轴相交于点M（m，0）；当a=a₂时，抛物线y=ax²+x+2与x轴的正半轴相交于点N（n，0）．若点M在点N的左边，试比较a₁与a₂的大小．

Answer 1

分析：（1）根据对称轴公式可求a的值，由抛物线开口向下，根据抛物线的最大值，求y的正整数值，将y的正整数值代入抛物线解析式，求x的值；
（2）将a=a₁，x=m代入y=ax²+x+2中，可求a₁，同理可求a₂，利用作差法求a₁-a₂，并化简，根据点M，N在x轴的正半轴上，且点M在点N的左边，得0＜m＜n，由此判断a₁-a₂的符号，判断a₁与a₂的大小．

解答：解：（1）①由对称轴x=-

1

2a

=

1

2

，得a=-1；
②∵抛物线y=-x²+x+2开口向下，抛物线有最大值为

-8-1

-4

=

9

4

，
∴抛物线y=-x²+x+2的正整数值只能为1或2，
当y=1时，-x²+x+2=1，解得x₁=

1+ 5

2

，x₂=

1- 5

2

，
当y=2时，-x²+x+2=2，解得x₃=0，x₄=1，
∴x的值为

1+ 5

2

，x₂=

1- 5

2

，0或1．

（2）方法一：
∵当a=a₁时，抛物线y=ax²+x+2与x轴的正半轴相交于点M（m，0），
∴a₁m²+m+2=0，m≠0，∴a₁=-

m+2

m2

，
同理，得a₂=-

n+2

n2

，
∴a₁-a₂=-

m+2

m2

-（-

n+2

n2

）=

-n2m-2n2+m2n+2m2

m2n2

=

mn(m-n)+2(m-n)(m+n)

m2n2

=

(m-n)(mn+2m+2n)

m2n2

，
又∵点M，N在x轴的正半轴上，且点M在点N的左边，
∴0＜m＜n，∴m-n＜0，∴

(m-n)(mn+2m+2n)

m2n2

＜0，
即a₁＜a₂；
方法二：
抛物线y=ax²+x+2的对称轴为x=-

1

2a

，
当a＞0时，x=-

1

2a

＜0，
此时，抛物线y=ax²+x+2的对称轴在y轴的左侧，
又∵抛物线y=ax²+x+2与y轴相交于点（0，2），
∴抛物线y=ax²+x+2与x轴的正半轴无交点．
∴a＞0不合题意；
当a＜0时，即a₁＜0，a₂＜0．
经过点M的抛物线y=a₁x²+x+2的对称轴为x=-

1

2a1

，
经过点N的抛物线y=a₂x²+x+2的对称轴为x=-

1

2a2

，
∵点M在点N的左边，且抛物线经过点（0，2），
（此时两条抛物线如图所示）．

∴直线x=-

1

2a1

在直线x=-

1

2a2

的左侧，
∴-

1

2a1

＜-

1

2a2

，∴a₁＜a₂．

点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是由已知条件求抛物线解析式，根据抛物线解析式求函数最大值，确定函数的正整数值，再根据函数的正整数值求对应的x值，根据函数式求a₁，a₂的表达式，利用作差法比较a₁，a₂的大小．