Question

已知△ABC中，∠BAC=45°，高AD与高BE相交于点H，BD=2，CD=3．
（1）求证：△BCE≌△AHE；
（2）求DH之长．

Answer 1

分析：（1）先求出△ABE是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AE=BE，利用同角的余角相等求出∠1=∠2，然后利用“角边角”证明△AHE和△BCE全等；
（2）求出BC的长，再根据全等三角形对应边相等可得AH=BC，然后求出△ACD和△BHD相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．

解答：（1）证明：∵∠BAC=45°，BE是高，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=BE，
∵AD、BE都是△ABC的高，
∴∠1+∠C=90°，
∠2+∠C=90°，
∴∠1=∠2，
∵在△AHE和△BCE中，

∠1=∠2 AE=BE ∠AEB=∠BEC

，
∴△AHE≌△BCE（ASA）；

（2）解：∵BD=2，CD=3，
∴BC=BD+CD=2+3=5，
∵△BCE≌△AHE，
∴AH=BC=5，
∵∠1=∠2，∠ADC=∠BDH=90°，
∴△ACD∽△BHD，
∴

AD

BD

=

CD

DH

，
即

5+DH

2

=

3

DH

，
整理得，DH²+5DH-6=0，
解得DH=1，DH=-6（舍去），
故DH的长是1．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，（1）求出△ABE是等腰直角三角形是解题的关键，（2）根据相似三角形对应边成比例列出关于DH的方程是解题的关键．