Question

（1997•西宁）已知二次函数y=ax²+bx+c的图象抛物线G经过（-5，0），（0，

5

2

），（1，6）三点，直线l的解析式为y=2x-3
（1）求抛物线G的函数解析式；
（2）求证：抛物线G与直线L无公共点；
（3）若与l平行的直线y=2x+m与抛物线G只有一个公共点P，求P点的坐标．

Answer 1

分析：（1）直接把点（-5，0），（0，

5

2

），（1，6）代入二次函数y=ax²+bx+c，求出a、b、c的值即可；
（2）把（1）中求出的抛物线的解析式与直线l的解析式y=2x-3组成方程组，再根据一元二次方程根的判别式即可得出结论；
（3）把直线y=2x+m与抛物线G的解析式组成方程组，根据只有一个公共点P可知△=0，求出m的值，故可得出P点坐标即可．

解答：解：（1）∵次函数y=ax²+bx+c的图象抛物线G经过（-5，0），（0，

5

2

），（1，6）三点，
∴

0=25a-5b+c 5 2 =c 6=a+b+c

，解得

a= 1 2 b=3 c= 5 2

，
∴抛物线G的函数解析式为：y=

1

2

x²+3x+

5

2

；

（2）∵由（1）得抛物线G的函数解析式为：y=

1

2

x²+3x+

5

2

，
∴

y=2x-3① y= 1 2 x2+3x+ 5 2 ②

，
①-②得，

1

2

x²+x+

11

2

=0，
∵△=1²-4×

1

2

×

11

2

=-10＜0，
∴方程无实数根，即抛物线G与直线L无公共点；

（3）∵与l平行的直线y=2x+m与抛物线G只有一个公共点P，
∴

y=2x+m y= 1 2 x2+3x+ 5 2

，消去y得，

1

2

x²+x+

5

2

-m=0①，
∵抛物线G与直线y=2x+m只有一个公共点P，
∴△=1²-4×

1

2

×（

5

2

-m）=0，解得m=2，
把m=2代入方程①得，

1

2

x²+x+

5

2

-2=0，解得x=-1，
把x=-1代入直线y=2x+2得，y=0，
∴P（-1，0）．

点评：本题考查的是二次函数综合题，熟知待定系数法求一元二次方程的解析式及一元二次方程的解与△的关系式解答此题的关键．