Question

已知抛物线y=x²+kx-

3

4

k²（k为常数，且k＞0）．
（1）证明：此抛物线与x轴总有两个交点；
（2）设抛物线与x轴交于M、N两点，若这两点到原点的距离分别为OM、ON，且

1

ON

-

1

OM

=

2

3

，求k的值．

Answer 1

分析：（1）可让y=0，然后证所得的一元二次方程满足△＞0即可．
（2）根据（1）的一元二次方程可求出方程的两个根，也就是M、N两点的横坐标，根据给出的条件

1

ON

-

1

OM

=

2

3

，可得出M点横坐标的绝对值要大于N的横坐标的绝对值，因此可据此确定M、N两点的坐标，即可得出OM，ON的长，然后代入给出的等量关系中，即可求出k的值．

解答：解：（1）△=k²-4×1×（-

3

4

k²）=4k²
∵k＞0，
∴△=4k²＞0．
∴此抛物线与x轴总有两个交点．

（2）方程x²+kx-

3

4

k²=0的解是：
x=

1

2

k或x=-

3

2

k．
∵

1

ON

-

1

OM

=

2

3

＞0，
∴OM＞ON．
∵k＞0，
∴M（-

3

2

k，0），N（

1

2

k，0），
∴OM=

3

2

k，ON=

1

2

k．
∴

1

ON

-

1

OM

=

1

1 2 k

-

1

3 2 k

=

2

3

，
解得k=2．

点评：本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，当二次函数的y值为0时就可转化成一元二次方程．