Question

已知二次函数y=-

1

2

x²+2x+

5

2

图象交x轴于点A，B（A在B的左侧），交y轴于点C，点D是该函数图象上一点，且点D的横坐标为3，连接BD．点E是线段AB上一动点（不与点A重合），过E作EF⊥AB交射线AD于点F，以EF为一边在EF的右侧作正方形EFGH．设E点的坐标为（t，0）．
（1）求射线AD的解析式；
（2）在线段AB上是否存在点E，使△OCG为等腰三角形？若存在，求正方形EFGH的边长；若不存在，请说明理由；
（3）设正方形EFGH与△ABD重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的解析式求出A、B、C、D的坐标，然后用待定系数法就可以求出AD的解析式；
（2）根据等腰三角形的性质及两点间的距离公式建立方程，分类讨论就可以求出正方形的边长，从而得出结论；
（3）分情况讨论从-1＜t≤

7

5

，

7

5

＜t≤2，2＜t≤3及3＜t＜5四种情况求出S与t的函数关系式．

解答：解：（1）当x=3时，
y=-

1

2

×9+2×3+

5

2

=4，
∴D（3，4）．
当y=0时，
-

1

2

x²+2x+

5

2

=0，
解得：x₁=-1，x₂=5．
∵A在B的左侧，
∴A（-1，0），B（5，0）．
当x=0时，y=2.5，
∴C（0，2.5）．
设AD的解析式为y=kx+b，由题意，得

0=-k+b 4=3k+b

，
解得：

k=1 b=1

，
∴AD的解析式为：y=x+1（x≥-1）；

（2）∵y=x+1，
∴当x=0时，y=1，
∴tan∠DAB=1．
∵E（t，0）．
∴OE=t，
∴AE=t+1，EF=t+1，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF=EH=GH=t+1，
∴G（2t+1，t+1）
①当CO=OG时
（2t+1）²+（t+1）²=2.5²，
解得：t₁=0.5，t₂=-1.7（舍去），
∴正方形的边长为0.5+1=1.5．
②当GC=OC时
（2t+1）²+（t+1-2.5）²=2.5²，
解得：t₁=

61 -1

10

，t₂=

- 61 -1

10

（舍去）
∴正方形的边长为

61 -1

10

+1=

61 +9

10

．
③当OG=CG时，
（2t+1）²+（t+1）²=（2t+1）²+（t+1-2.5）²，
解得：t=

1

4

，
∴正方形的边长为

1

4

+1=

5

4

．
综上所述，正方形的边长为：1.5、1.6或

5

4

；
（3）设BD的解析式为y=kx+b，由B、D的坐标为：

4=3k+b 0=5k+b

，
解得：

k=-2 b=10

，
∴y=-2x+10
∴t+1=-2（2t+1）+10，
∴t=

7

5

∴①如图1，当0＜t≤

7

5

时，S=（t+1）²=t²+2t+1；
②如图2，当点H与点B重合时，即2t+1=5时，
t=2，
∴t+1=-2x+10，
∴x=4.5-

1

2

t
∴

7

5

＜t≤2时，S=

(4.5- 1 2 t-t+5-t)(t+1)

2

-

2(4-2t)(4-2t)

2

=-

21

4

t²+

39

2

t-

45

4

③如图3，当2＜t≤3时，S=

(4.5- 1 2 t-t+5-t)(t+1)

2

=-

5

4

t²+

7

2

t+

19

4

，
④如图4，作DS⊥OB于S，
∴∠DSB=90°．
∵D（3，4），B（5，0），
∴OS=3，DS=4，OB=5，
∴BS=2，
∴tan∠DBS=2，
当3＜t＜5时，
BE=5-t，
∴PE=2（5-t）
S=

2(5-t)(5-t)

2

=（t-5）²．
S=t²-10t+25，
如图5，当-1＜t≤0时，
∵E（t，0），
∴OE=-t，
∴AE=EF=1+t，
S=（t+1）²=t²+2t+1；
∴S与t的函数关系式为：S=

t2+2t+1(-1＜t≤ 7 5 ) - 21 4 t2+ 39 2 t- 45 4 ( 7 5 ＜t≤2) - 5 4 t2+ 7 2 t+ 19 4 (2＜t≤3) t2-10t+25(3＜t＜5)

．

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查抛物线的性质的运用，待定系数法求一次函数的额解析式的运用，等腰三角形的性质的运用，多边形的面积公式的运用，动点问题与二次函数的关系的运用．