Question

在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x²+x-1）的图象交于点A（1，k）和点B（-1，-k）．
（1）当k=-2时，求反比例函数的解析式和二次函数的图象的顶点；
（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围．

Answer 1

解：（1）当k=-2时，A（1，-2），
∵A在反比例函数图象上，
∴设反比例函数的解析式为：．
将A（1，-2）代入得：，
解得：m=-2．
∴反比例函数的解析式为：；
当k=-2时，y=k（x²+x-1）=-2（x²+x-1）=-2（x²+x-1）=-2（x+0.5）²+2.5，
∴二次函数的图象的顶点坐标为（-0.5，2.5）；

（2）∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，
∴k＜0．
∵二次函数y=k（x²+x-1）=，
∴对称轴为：直线x=-．
要使二次函数y=k（x²+x-1）满足上述条件，在k＜0的情况下，x必须在对称轴的左边，即x＜-时，才能使得y随着x的增大而增大．
综上所述，k＜0且x＜-．
分析：（1）当k=-2时，即可求得点A的坐标，然后设反比例函数的解析式为：y=，利用待定系数法即可求得答案，将k=-2代入y=k（x²+x-1），运用配方法写成顶点式，即可求出二次函数的图象的顶点；
（2）由反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，可得k＜0，又由二次函数y=k（x²+x-1）的对称轴为x=-，可得x＜-时，才能使得y随着x的增大而增大
点评：此题考查了二次函数的性质、反比例函数的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握待定系数法求函数解析式，注意数形结合思想的应用．