Question

如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标为（6，0），（6，8）．动点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了t秒．
（1）求直线AC的解析式．
（2）用含t的代数式表示P的坐标

（6-t，

4

3

t）

（直接写出答案）
（3）是否存在点P使得

S

四边形OMPC

=

39

2

？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）是否存在t的值，使以P、A、M为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据矩形的性质求出C点坐标，利用待定系数法求出AC的解析式；
（2）求出CN的长度表达式即为P点横坐标，代入解析式即可求出P点的纵坐标，从而得到P点坐标表达式；
（3）存在，求出AM的长度表达式，根据三角形的面积公式求出△AMP的面积表达式，用△ACO的面积减去△AMP的面积表达式即为S_{四边形OMPC}，使面积等于

39

2

，求出t的值，即可确定出此时P的坐标；
（3）先假设以P、A、M为顶点的三角形与△AOC相似，再根据相似三角形的性质进行计算，若能求出t，则存在；否则不存在．

解答：解：（1）∵四边形OABC为矩形，点A、B的坐标为（6，0），（6，8），
∴C点坐标为（0，8），
设AC的解析式为y=kx+b，
将A（6，0），C（0，8）代入y=kx+b得：

6k+b=0 b=8

，
解得：

k=- 4 3 b=8

，
则直线AC的解析式为y=-

4

3

x+8；

（2）∵CN=6-t，
∴y_P=-

4

3

（6-t）+8=

4

3

t，
则P点坐标为（6-t，

4

3

t）；
故答案为：（6-t，

4

3

t）

（3）存在．
∵AM=AO-OM=6-t，
∴S_△AMP=

1

2

×（6-t）×

4

3

t=-

2

3

t²+4t，
∴y=S_{四边形OMPC}=S_△AOC-S_△AMP=

1

2

×6×8-（-

2

3

t²+4t）=

2

3

t²-4t+24=

2

3

（t-3）²+18，
当y=

39

2

时，有

2

3

（t-3）²+18=

39

2

，
解得：t=

3

2

或t=

9

2

，
则满足题意P的坐标为（

9

2

，2）或（

3

2

，6）；
（4）存在．
在△ACB中，PN∥AB，
则

BN

BC

=

AP

AC

，
即

t

6

=

AP

10

，
解得AP=

5

3

t，
又∵AM=6-t，
则有：①△AMP∽△AOC时，

AM

AO

=

AP

AC

，即

6-t

6

=

5 3 t

10

，解得t=3秒；
②△APM∽△AOC时，

AP

AO

=

AM

AC

，即

5 3 t

6

=

6-t

10

，解得t=

27

17

秒，
综上所述，当t=3秒或t=

27

17

秒时，以P、A、M为顶点的三角形与△AOC相似．

点评：本题考查了动点问题与相似三角形的性质，根据题意，逐步解答，充分利用前一问题的结论是解题的关键，同时要注意分类讨论．