题目内容
已知：如图1，等边△ABC为2| 3 |
| 3 |
（1）直接写出点B、C的坐标；
（2）若直线y=kx-1（k≠0）将四边形EABF的面积等分，求k的值；
（3）如图2，过点A、B、C线与y轴交于点D，M为线段OB上的一个动点，过x轴上一点G（-2，0）作DM的垂线，垂足为H，直线GH交y轴于点N，当M在线段OB上运动时，现给出两个结论：①∠GNM=∠CDM；②∠MGN=∠DCM，其中只有一个是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明．
分析：（1）根据A点的坐标可得OA的长，由等边三角形的边长即可求出OB的长，从而得到B点的坐标；由于C在线段AB的垂直平分线上，根据A、B的坐标，可得C点的横坐标，易求得等边三角形的高，也就求出了C点的坐标．
（2）过C作x轴的垂线，交EF于Q，交AB于P，若直线y=kx-1平分四边形ABFE的面积，那么此直线必过点PQ的中点R（因为分成的两个梯形的上下底之和相同，高相同）；在Rt△EOA中，根据∠EAO的度数和OA的长，可求出点E的坐标，进而可求出点Q的坐标，P点的坐标易求得，则可得到点R的坐标，然后将点R代入直线y=kx-1中，即可求出待定系数k的值，从而确定该直线的解析式．
（3）①的结论是正确的；由于OG=OD=2，且GH⊥DM，则可证得△NGO≌△MDO，由此可得∠GNO=∠DMO；而ON=OM（全等三角形的对应边），故∠ONM=45；过D作DT⊥CP于T，根据C、D的坐标可知CT=DT=1，即∠CDT=45°，而∠TDM、∠DMO是平行线DT、AB的内错角，故∠TDM=∠DMO=∠GNO，因此∠TDM、∠GNO都加上45°后仍然相等，即∠GNM=∠CDM．
（2）过C作x轴的垂线，交EF于Q，交AB于P，若直线y=kx-1平分四边形ABFE的面积，那么此直线必过点PQ的中点R（因为分成的两个梯形的上下底之和相同，高相同）；在Rt△EOA中，根据∠EAO的度数和OA的长，可求出点E的坐标，进而可求出点Q的坐标，P点的坐标易求得，则可得到点R的坐标，然后将点R代入直线y=kx-1中，即可求出待定系数k的值，从而确定该直线的解析式．
（3）①的结论是正确的；由于OG=OD=2，且GH⊥DM，则可证得△NGO≌△MDO，由此可得∠GNO=∠DMO；而ON=OM（全等三角形的对应边），故∠ONM=45；过D作DT⊥CP于T，根据C、D的坐标可知CT=DT=1，即∠CDT=45°，而∠TDM、∠DMO是平行线DT、AB的内错角，故∠TDM=∠DMO=∠GNO，因此∠TDM、∠GNO都加上45°后仍然相等，即∠GNM=∠CDM．
解答：
解：（1）易知OA=
-1，AB=2
，
故OB=AB-OA=
+1；
易求得等边△ABC的高为：3，
∴B（1+
，0）；
由于C点在线段AB的垂直平分线上，
因此C点的横坐标为：
（1+
+
-1）=1，
∴C（1，3）；
故B（1+
，0）、C（1，3）．（2分）
（2）过点C作CP⊥AB于P，交EF于点Q，取PQ的中点R；
∵△ABC是等边三角形，A（1-
，0），
∴∠EAO=60°，
在Rt△EOA中，∠EOA=90°，
∴EO=AO•tan60°=-（1-
）×
=3-
，
∴E（0，3-
）；
∵EF∥AB交BC于F，C（1，3），
∴R（1，
）；
∵直线y=kx-1将四边形EABF的面积两等分，
∴直线y=kx-1必过点R（1，
），
∴k-1=
，
∴k=
．（4分）
（3）正确结论：①∠GNM=∠CDM，
证明：可求得过A、B、C的抛物线解析式为y=-x2+2x+2；（5分）
∴D（0，2），
∵G（-2，0），
∴OG=OD，
由题意∠GON=∠DOM=90°，
又∵∠GNO=∠DNH，
∴∠NGO=∠MDO，
∴△NGO≌△MDO，
∴∠GNO=∠DMO，OM=ON，
∴∠ONM=∠NMO=45°，
过点D作DT⊥CP于T；
∴DT=CT=1，
∴∠CDT=∠DCT=45°，
由题意可知DT∥AB，
∴∠TDM=∠DMO，
∴∠TDM+45°=∠DMO+45°=∠GNO+45°，
∴∠TDM+∠CDT=∠GNO+∠ONM，
即：∠GNM=∠CDM．（7分）
解：（1）易知OA=| 3 |
| 3 |
故OB=AB-OA=
| 3 |
易求得等边△ABC的高为：3，
∴B（1+
| 3 |
由于C点在线段AB的垂直平分线上，
因此C点的横坐标为：
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
∴C（1，3）；
故B（1+
| 3 |
（2）过点C作CP⊥AB于P，交EF于点Q，取PQ的中点R；
∵△ABC是等边三角形，A（1-
| 3 |
∴∠EAO=60°，
在Rt△EOA中，∠EOA=90°，
∴EO=AO•tan60°=-（1-
| 3 |
| 3 |
| 3 |
∴E（0，3-
| 3 |
∵EF∥AB交BC于F，C（1，3），
∴R（1，
3-
| ||
| 2 |
∵直线y=kx-1将四边形EABF的面积两等分，
∴直线y=kx-1必过点R（1，
3-
| ||
| 2 |
∴k-1=
3-
| ||
| 2 |
∴k=
5-
| ||
| 2 |
（3）正确结论：①∠GNM=∠CDM，
证明：可求得过A、B、C的抛物线解析式为y=-x2+2x+2；（5分）
∴D（0，2），
∵G（-2，0），
∴OG=OD，
由题意∠GON=∠DOM=90°，
又∵∠GNO=∠DNH，
∴∠NGO=∠MDO，
∴△NGO≌△MDO，
∴∠GNO=∠DMO，OM=ON，
∴∠ONM=∠NMO=45°，
过点D作DT⊥CP于T；
∴DT=CT=1，
∴∠CDT=∠DCT=45°，
由题意可知DT∥AB，
∴∠TDM=∠DMO，
∴∠TDM+45°=∠DMO+45°=∠GNO+45°，
∴∠TDM+∠CDT=∠GNO+∠ONM，
即：∠GNM=∠CDM．（7分）
点评：此题考查了等边三角形的性质、图形面积的求法、函数解析式的确定、全等三角形及等腰直角三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大．
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