Question

如图，抛物线y=ax²+bx-4与x轴交于A（4，0）、B（-2，0）两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点（端点除外），过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当动点P运动到何处时，BP²=BD•BC；
（3）当△PCD的面积最大时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）该抛物线的解析式中有两个待定系数，只需将点A、B的坐标代入解析式中求解即可．
（2）首先设出点P的坐标，由PD∥AC得到△BPD∽△BAC，通过比例线段可表示出BD的长；BC的长易得，根据题干给出的条件BP²=BD•BC即可求出点P的坐标．
（3）由于PD∥AC，根据相似三角形△BPD、△BAC的面积比，可表示出△BPD的面积；以BP为底，OC为高，易表示出△BPC的面积，△BPC、△BPD的面积差为△PDC的面积，通过所列二次函数的性质，即可确定点P的坐标．
解答：解：（1）由题意，得，
解得，
∴抛物线的解析式为y=-x-4；

（2）设点P运动到点（x，0）时，有BP²=BD•BC，
令x=0时，则y=-4，
∴点C的坐标为（0，-4）．
∵PD∥AC，
∴△BPD∽△BAC，
∴．
∵BC===2，
AB=6，BP=x-（-2）=x+2．
∴BD===．
∵BP²=BD•BC，
∴（x+2）²=×2，
解得x₁=，x₂=-2（-2不合题意，舍去），
∴点P的坐标是（，0），即当点P运动到（，0）时，BP²=BD•BC；

（3）∵△BPD∽△BAC，
∴，
∴×
S_△PDC=S_△PBC-S_△PBD=×（x+2）×4-
∵，
∴当x=1时，S_△PDC有最大值为3．
即点P的坐标为（1，0）时，△PDC的面积最大．
点评：该题综合了相似三角形、图形面积的求法等知识，难度系数大，（3）题中，将所求三角形的面积进行适当的转化是解题的关键所在．