题目内容
如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝1，AM＝2，AE＝
.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)求
的长．
（1）证明：∵ME=1，AM=2，AE=
，∴ME2+AE2=AM2=4，（1分）
∴△AME是直角三角形，且∠AEM=90°．（1分）
又∵MN∥BC，∴∠ABC=∠AEM=90°，即OB⊥BC．（1分）
又∵OB是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；（1分）
（2）解：连接OM．
在Rt△AEM中，sinA=
=，
∴∠A=30°．（1分）
∵AB⊥MN，
∴
=
，EN=EM=1，（1分）
∴∠BOM=2∠A=60°．
在Rt△OEN中，sin∠EOM=
，
∴OM=
，（1分）
∴的长度是：
•
=
．（1分）
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