Question

已知在△ABC中，BC=a．如图1，点B₁、C₁分别是AB、AC的中点，则线段B₁C₁的长是

 

；如图2，点B₁、B₂，C₁、C₂分别是AB、AC的三等分点，则线段B₁C₁+B₂C₂的值是

 

；如图3，点B₁、B₂、…、B_n，C₁、C₂、…、C_n分别是AB、AC的（n+1）等分点，则线段B₁C₁+B₂C₂+…+B_nC_n的值是

 

．

Answer 1

分析：先根据三角形的中位线定理得出B₁C₁的长，再作图2中三角形的中位线，根据三角形的中位线定理和梯形的中位线定理推得B₁C₁+B₂C₂的值，依此类推得出B₁C₁+B₂C₂+B₃C₃的值，从而得出B₁C₁+B₂C₂+…+B_nC_n的值．

解答：解：∵点B₁、C₁分别是AB、AC的中点，
∴B₁C₁=

1

2

BC=

1

2

a，
作图2中三角形的中位线MN，则MN=

1

2

a，
则B₁C₁=

1

3

a①，B₂C₂=

2

3

a②，
①+②得，B₁C₁+B₂C₂=

1

3

a+

2

3

a=a，
同理得出B₁C₁+B₂C₂+B₃C₃=

1

4

a+

1

2

a+

3

4

a=

3

2

a，
…
B₁C₁+B₂C₂+…+B_nC_n=

1

2

na．
故答案为

1

2

na．

点评：本题是一道规律性的题目，考查了三角形的中位线定理以及梯形的中位线定理，是基础知识要熟练掌握．