题目内容

设关于x的方程ax²+（a+2）x+9a=0有两个不相等的实数根x₁、x₂，且x₁＜2＜x₂，那么实数a的取值范围是________．

- $\text{[math]}$ ＜a＜0
分析：根据根的判别式求出a的取值范围，再根据根与系数的关系求出a的取值范围，求其公共解即可．
解答：∵关于x的方程ax²+（a+2）x+9a=0有两个不相等的实数根x₁、x₂，
∴△=（a+2）²-4a•9a=a²+4a+4-36a²=-35a²+4a+4＞0；
整理得（-5a+2）（7a+2）＞0，
即 $\text{[math]}$ ，解得- $\text{[math]}$ ＜a＜ $\text{[math]}$ ；
或 $\text{[math]}$ ，无解；
又∵x₁＜2＜x₂，
∴x₁-2＜0，x₂-2＞0，
∴（x₁-2）（x₂-2）＜0，
即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4＜0，
根据根与系数的关系得，9-2×（- $\text{[math]}$ ）+4＜0，
解得0＞a＞- $\text{[math]}$ ，
综上，- $\text{[math]}$ ＜a＜0．
故答案为- $\text{[math]}$ ＜a＜0．
点评：此题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，将二者结合是解题常用的方法．