Question

（2010•路南区三模）已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，BD平分∠ABC，交AC于点D．动点P从D点出发沿DC向终点C运动，速度为每秒1个单位，动点Q从B点出发沿BA向终点A运动，速度为每秒4个单位．两点同时出发，当一点到达终点时，两点停止运动．设P、Q运动时间为t秒．
（1）求线段CD的长；
（2）求△BPQ的面积S与t之间的函数关系式；当S=7.2时，求t的值；
（3）在点P、点Q的移动过程中，如果将△APQ沿其一边所在直线翻折，翻折后的三角形与△APQ组成一个四边形，直接写出使所组成的四边形为菱形的t的值．

Answer 1

分析：（1）过点D作DE⊥AB于E，由角平分线的性质定理就可以得出DE=DC，BE=BC=6，由勾股定理可以求出AB，设出CD=x，则可以表示出AD、BE，由勾股定理就可以求出x．
（2）作QF⊥AC于F，可以这么三角形相似把QF用含t的式子表示出来，而S_△BPQ=S_△ABC-S_△AQP-S_△PCB，就可以表示出积S与t之间的函数关系式．
（3）当BQ=BP时利用勾股定理建立等量关系就可以求出其t值，当BP=QP时，作PM⊥AB，根据等腰三角形的性质就可以求出其t值；当PQ=BQ时，作QN⊥AC，利用三角形相似就可以求出其t值．

解答：解：（1）过点D作DE⊥AB于E，
∵BD平分∠ABC，∠ACB=90°，
∴DE=DC，
∴△BDE≌△BDC，
∴BE=BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB=

36+64

=10，
设CD=x，则AD=8-x，DE=x，
∴16+x²=（8-x）²，
∴x=3，
∴CD=3．


（2）作QF⊥AC于F，
∴∠AFQ=90°，
∵∠ACB=90°，
∴QF∥BC，
∴△AQF∽△ABC，
∴

AQ

AB

=

QF

BC

，
∴

10-4t

10

=

QF

6

，
∴QF=

30-12t

5

，
∴S△BPQ=

1

2

×6×8-

6×(3-t)

2

-

1

2

（5+t）•

30-12t

5

，
∴S=

6

5

t²+6t，
当S=7.2时，
7.2=

6

5

t²+6t，
解得，t₁=-6（舍去），t₂=1；


（3）当AQ=AP时，BQ=4t，CP=3-t，在Rt△BPC中，由勾股定理，得
16t²=（3-t）²+36，
解得x1=

-1-2 19

5

（舍去），x2=

-1+2 19

5

；
当AP=PQ时，t₁=1，t₂=

15

7

；
当PQ=AQ时，不存在．
∴t的值为：

-1+2 19

5

，1，

15

7

．

点评：本题考查了轴对称，三角形的面积，两点间的距离，菱形的判定及性质，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质．