Question

【题目】问题背景：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，，，求此三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．

(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上：________.

思维拓展：

(2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．如果△ABC三边的长分别为a，a，a(a＞0)，请利用图②的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC，并求出它的面积．

探索创新：

(3)若△ABC三边的长分别为，，(m＞0，n＞0，且m≠n)，试运用构图法画出示意图并求出这三角形的面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3a2；（3）7mn

【解析】

（1）的面积；

（2）是直角边长为，的直角三角形的斜边；是直角边长为，的直角三角形的斜边；是直角边长为，的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；

（3）结合（1），（2）易得此三角形的三边分别是直角边长为，的直角三角形的斜边；直角边长为，的直角三角形的斜边；直角边长为，的直角三角形的斜边.同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积.

解：(1)；

故答案为：；

(2)如图1，在边长为a的正方形网格中，△ABC即为所求作三角形，S△ABC＝2a×4a－×2a×2a－×2a×a－×4a×a＝3a2　

(3)如图2，在每个小长方形的长为m、宽为n的网格中，△ABC即为所求作三角形，其中AB＝、AC＝、BC＝，S△ABC＝4m×4n－×m×4n－×3m×2n－×4m×2n＝7mn.