题目内容
大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+n=？经过研究，这个问题的结论是1+2+3+…+n=
n(n+1)，其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+n（n+1）=？观察下面三个特殊的等式：
1×2=
(1×2×3-0×1×2)，
2×3=
(2×3×4-1×2×3)，
3×4=
(3×4×5-2×3×4)，
将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=
×3×4×5=20．
根据上述规律，请你计算：1×2+2×3+…+n（n+1）=______；1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=______．
| 1 |
| 2 |
1×2=
| 1 |
| 3 |
2×3=
| 1 |
| 3 |
3×4=
| 1 |
| 3 |
将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=
| 1 |
| 3 |
根据上述规律，请你计算：1×2+2×3+…+n（n+1）=______；1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=______．
根据阅读材料中的例子得：1×2+2×3+…+n（n+1）
=
（1×2×3-0×1×2）+
（2×3×4-1×2×3）+…+
[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]
=
n（n+1）（n+2）；
依此类推：1×2×3=
（1×2×3×4-0×1×2×3），2×3×4=
（2×3×4×5-1×2×3×4），
∴1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）
=
（1×2×3×4-0×1×2×3）+
（2×3×4×5-1×2×3×4）+…+
[（n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]=
n（n+1）（n+2）（n+3）．
故答案为：
n（n+1）（n+2）；
n（n+1）（n+2）（n+3）
=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
=
| 1 |
| 3 |
依此类推：1×2×3=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
∴1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）
=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
故答案为：
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
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