Question

如图，已知AD与BC相交于E，∠1=∠2=∠3，BD=CD，∠ADB=90°，CH⊥AB于H，CH交AD于F。

（1）求证：CD∥AB；
（2）求证：△BDE≌△ACE；
（3）若O为AB中点，求证：OF=BE。

Answer 1

解：（1）∵BD=CD， ∴∠BCD=∠1 ∵∠l=∠2，∠BCD=∠2 ∴CD∥AB。 （2） ∵ CD∥AB ∴∠CDA=∠3，∠BCD=∠2=∠3，且BE=AE，且∠CDA=∠BCD ∴DE=CE 在△BDE和△ACE中，DE=CE，∠DEB=∠CEA，BE=AE ∴△BDE≌△ACE。 （3）∵△BDE≌△ACE，∠4=∠1，∠ACE=∠BDE=90° ∴∠ACH=90°-∠BCH 又CH⊥AB， ∴ ∠2=90°-∠BCH ∴∠ACH=∠2=∠1=∠4，AF=CF ∵∠AEC=90°-∠4，∠ECF=90°-∠ACH，∠ACH=∠4 ∠AEC=∠ECF，CF=EF ∴ EF=AF O为AB中点，OF为△ABE的中位线 ∴OF=BE。