Question

在△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于F。

(1)请猜测OE与OF的大小关系，并说明你的理由；

(2)点O运动到何处时，四边形AECF是矩形?写出推理过程；

(3)在什么条件下，四边形AECF是正方形?

Answer 1

解：(1)OE=OF

证明：∵CE为∠BCA的平分线，

      ∴∠BCE=∠ACE，

      ∵MN// BC，

∴∠BCE=∠CEO，

∴∠ACE=∠CEO，

      ∴OE=OC

同理OF=OC

      ∴OE=OF     

(2)点O运动到AC的中点，四边形AECF为矩形

证明：点O为AC的中点，

由(1)知，O为EF的中点，

∴四边形AECF为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)

又∵CE、CF分别为∠BCA的内、外角平分线，

∴∠ECF=∠ACE+∠ACF

         =∠ACB+∠ACG

     =90°  

∴四边形AECF为矩形(有一个角为直角的平行四边形是矩形)

(3)只需一组邻边，如CE=CF,四边形AECF是正方形

  理由是：有一组邻边相等的矩形是正方形