题目内容

如图，正方形ABCD，P为BC边上一点，以AP为斜边在正方形ABCD内作等腰Rt△APQ，连接AC交PQ于点E，连接DQ．
（1）求证：△ACP∽△ADQ；
（2）当P为BC的中点时，求 $数学公式$ 的值；
（3）在（2）的条件下，求证：EQ= $数学公式$ DQ．

（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAC=45°，即∠DAQ+∠QAE=45°， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵△APQ为等腰直角三角形，
∴∠QAP=45°，即∠PAC+∠QAE=45°， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴∠PAC=∠QAD， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴△ACP∽△ADQ；

（2）解：设正方形ABCD的边长为2a，则PB=PC=a，
∴AP= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ a，AC=2 $\text{[math]}$ a，
∵∠APE=∠ACP=45°，∠PAE=∠CAP，
∴△APE∽△ACP，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（3）证明：∵PC=a， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴PE= $\text{[math]}$ a，
∵PQ= $\text{[math]}$ AP= $\text{[math]}$ a，
∴EQ=PQ-PE= $\text{[math]}$ a，
又∵△ACP∽△ADQ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴DQ= $\text{[math]}$ a，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴EQ= $\text{[math]}$ DQ．
分析：（1）根据正方形的性质得∠DAQ+∠QAE=45°， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；根据等腰直角三角形的性质得∠PAC+∠QAE=45°， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，所以∠PAC=∠QAD， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，于是可判断△ACP∽△ADQ；
（2）设正方形ABCD的边长为2a，则PB=PC=a，AP= $\text{[math]}$ a，AC=2 $\text{[math]}$ a，由∠APE=∠ACP=45°，∠PAE=∠CAP得到△APE∽△ACP，利用相似比可计算出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
（3）由（2）的结论得PE= $\text{[math]}$ a，而PQ= $\text{[math]}$ AP= $\text{[math]}$ a，则EQ=PQ-PE= $\text{[math]}$ a，再利用（1）的结论得到 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，可计算得到DQ= $\text{[math]}$ a，然后求EQ与DQ的比值．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；有两组对应角相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比等于相等，都等于相似比．也考查了等腰直角三角形的性质和正方形的性质．